2024年典韦杯暑期联考高三7月数学试题（解析版）.docx

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2024年“典韦杯”暑期联考

数学试卷

时间：120分钟满分：150分

2024.7

注意事项：

1答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．

1.，，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】变形可得集合，都是空集，所以根据集合的并集运算可得答案.

【详解】，

解之可得不存在，所以集合是空集，

，

解之可得不存在，所以集合是空间.

所以

故选：A

2.若复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数除法运算、模的运算等知识求得正确答案.

【详解】依题意，

所以，

所以.

故选：D

3.若向量，单位向量与向量垂直，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据题设条件和向量数量积的运算律，求出，再利用向量的夹角计算公式化简计算即得.

【详解】因单位向量与向量垂直，则，，

则

因，

则，于是，．

故选：A.

4.已知数列满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据递推式子直接计算即可；方法二：对于递推式子，一般构造成等比数列，即，求出通项再求解即可.

【详解】方法一：因为

所以

故选：B.

方法二：构造等比数列

设，即对照系数可得，所以

所以

所以数列是以为首项，公比的等比数列

所以，即

因此

故选：B.

5.若正实数满足，则的最小值为（）

A.9 B.6 C.3 D.2

【答案】C

【解析】

【分析】通过配凑，直接利用基本不等式即可求解.

【详解】由为正实数，且

则利用基本不等式可得：

，

当且仅当，即时等号成立.

因此的最小值为3.

故选：C.

6.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由倍角公式可得，即，分和两种情况，求的值，运算求解即可.

【详解】因为，

由可得，

又因为，

若，则，

可得，

所以；

若，则，

可得，

所以；

综上所述：.

故选：B.

7.

设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为F1,0，左焦点坐标为，

根据椭圆的定义可知，所以，

则，

所以最小时，即最小，

定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段，

根据点到直线的距离公式可得，

所以.

故选：C

8.定义，不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，这一规定最早为数学家高斯所用，因此称为高斯函数，称为小数函数，下列说法正确的是（）

A. B.函数所有零点和为0

C.的值域为 D.是的充要条件

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定函数，计算判断A；由零点的意义构造函数，作出图象，结合对称性求解判断B；利用指数型函数的值域判断C；举例说明判断D.

【详解】对于A，，A错误；

对于B，由，得，在同一坐标系内作出函数与的图象，

函数的图象关于点成中心对称，令，

令，则，，，

于是，即函数图象关于点成中心对称，

则函数与的图象，除交点外，其他交点都关于点成中心对称，

这些交点的横坐标和为0，所以函数所有零点和为，B错误；

对于C，，而，则，

，，函数的值域为，C正确；

对于D，当时，取，而，D错误.

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．

9.抛出一枚质地均匀的硬币n次，得到正反两面的概率相同．事件次中既有正面朝上又有反面朝上，事件B：n次中最多有一次正面朝上，下列说法正确的是（）

A.当时，A，B相互独立 B.当时，A，B相互独立

C.时， D.时，

【答案】BC

【解析】

【分析】由相互独立事件概率乘法公式及对立事件概率公式依次判断即可．

【详解】抛出两次，有正反，反正，正正，反反，共四种情况，

又因为，故A错误，

抛出三次：正正正，正正反，正反正，正反反，反反反，反反正，反正反，反正正，共八种情况，

则，，，故B正确，

抛出n次有