人教版九年级数学上册专题9《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类（解析版）.docxVIP

专题09《一元二次方程的应用综合》重难点题型分类

专题简介：本份资料专攻《一元二次方程的应用综合》中“与一元二次方程有关的动点问题”、“一元二次方程与一次函数的综合”、“与一元二次方程有关的阅读探究问题”等重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。

考点1：与一元二次方程有关的动点问题

方法点拨：一元二次方程在几何动点问题中运用的关键是找到合适的直角三角形，用设定的字母把三边表示出来，再根据勾股定理列出方程进行求解，最后必须根据题意判定结果的合理性。只要认真审题，牢固掌握并灵活运用各个特殊几何图形的性质定理，并根据边角间的数量关系列出等式，就能轻松应对这类题型。

1．（2022·安徽合肥·八年级期末）如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，，两点的距离是？

【答案】秒或秒

【分析】设经过秒后，，两点的距离是，利用勾股定理列出方程并解答即可．

【详解】解：设经过秒后，，两点的距离是，

根据题意，得，

整理，得，

解得，．

当时，，符合题意，

答：秒或秒后，，两点间的距离等于．

【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，根据路程速度时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．

2．（2022·河北唐山·八年级期中）如图1，，点P从A出发，沿路线运动，到D停止；点P的速度为每秒，运动时间为x秒，如图1是的面积与x（秒）的图像．

(1)______时间段内点P在线段上运动；______时间段内点P在线段上运动；

(2)根据题目中提供的信息，请你推断出图1中的______；______；______；图2中的______；

(3)当点P运动______秒时，．

【答案】(1)0到2；2到5

(2)2；3；1；3

(3)3

【分析】（1）由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，即可求解；

（2）从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，即可求解；

（3）当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，进而求解．

（1）

解：由函数的图像2知，在0到2秒的时间段点P在线段AB上运动，，在2到5秒的时间段点P在线段BC上运动，

故答案为：0到2；2到5；

（2）

解：从图2看，AB＝2cm，BC＝5﹣2＝3（cm），CD＝6﹣5＝1（cm），

当点P和点C重合时，△ABP的面积S为m，

即m＝S＝×AB?BC＝×2×3＝3（cm2），

故答案为：2，3，1，3；

（3）

解：从图象看，当点P在BC上时，有△ADP以∠ADP为底角构成等腰三角形，

此时，BP＝x﹣2，则PC＝BC﹣BP＝3﹣（x﹣2）＝5﹣x，

则AP2＝AB2+BP2＝4+（x﹣2）2，DP2＝PC2+CD2＝1+（x﹣5）2，

当AP＝PD时，即4+（x﹣2）2＝1+（x﹣5）2，解得x＝3，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

3．（2021·江苏泰州·九年级期中）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以/秒的速度运动，同时，点从点出发沿边向点以/秒的速度移动．如果、两点在分别到达、两点后就停止移动，回答下列问题：

(1)点运动开始后第几秒时，的面积等于；

(2)设点运动开始后第秒时，五边形的面积为，写出与的函数关系式，并指出的取值范围．

【答案】(1)秒或秒

(2)

【分析】（1）根据秒时，、两点的运动路程，分别表示、的长度，可得的面积，后令其为，求出的值即可；

（2）用求面积即可．

（1）

解：第秒钟时，，，

∴，

∴，

当面积等于时，得：，

解得：，，

∴点运动开始后第秒或第秒时，的面积等于．

（2）

∵在矩形中，，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积．解题关键是根据所设字母，表示相关线段的长度，再计算面积．

4．（2022·山东淄博·九年级期中）如图，在直角梯形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位的速度运动，动点从点出发，沿射线的方向以每秒1个单位的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为（秒），当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】t=或t=

【分析】以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ，②若BP=BQ，③若PB=PQ．在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以