人教版九年级数学上册专题23.1旋转中的最值问题（强化解析版）.docxVIP

专题23.1旋转中的最值问题

【例题精讲】

是边长为4的等边三角形，其中点为高上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，则周长的最小值是

A． B． C． D．

【解答】解：是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

是等边三角形，是高，

，，

过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，，

则，，

，

为等边三角形，

，

垂直平分，

，，

，

，

当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：，

的周长的最小值为．

故选：．

在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，，

，，

将绕点逆时针旋转得到，连接，．

由旋转的性质可知：，，，

是等边三角形，

，

，

，

，

当，在直线上时，的值最小，

，

，

的最小值为，

故选：．

【题组训练】

1．如图，在等边中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的周长的最小值是

A．10 B． C． D．20

【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，

，，，

是等边三角形，

，

的周长，

的值最小时，的周长有最小值，

当时，的值最小．

，

，

的周长的最小值是．

故选：．

2．如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接、、，则的最小值为

A．4 B．3 C． D．

【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，

，，，

是等边三角形，是等边三角形，

，

作于，交于．

，

，

，

当点，点，点，点四点共线且垂直时，有最小值为，

，

，

的最小值，

故选：．

3．如图，将面积为8的正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形，是的中点，是对角线的中点，则在旋转过程中的最大值为

A． B． C． D．

【解答】解：连接，如图，

四边形是面积为8的正方形，

，

是对角线的中点，

，

正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形，

，

是的中点，

，

（当且仅当、、共线时取等号），

的最大值为，即的最大值为．

故选：．

4．如图，已知正方形的边长为3，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为

A． B． C． D．

【解答】解：连接，过点作交延长线于点，

将绕点顺时针旋转到，

，，

，

，

又，

，

，，

，

即，

，

即点在的角平分线上运动，

作点关于的对称点，

点在的延长线上，

当点，，三点共线时，最小．

在中，，，

，

的最小值为，

此时的周长为．

故选：．

5．如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值为

A．1 B． C． D．

【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，

由旋转知，，，

，

，

，

，

，

，

要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，

当（点和点重合）时，最小，

即：点与点重合，最小，最小值为，

在中，，，

，

，

，

在中，，，

，

故线段长度最小值是，

故选：．

7．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长

A． B．3 C．1 D．2

【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，

，，，

是等边三角形．

，

．

根据“两点之间线段最短”，

当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，

过点作交的延长线于，

，

，

，，

．

，

，

，

，

，

故选：．

8．在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，是等边三角形，是边上动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，的面积为，的中点为，当点在边上运动时，线段的最小值为

A． B． C． D．4

【解答】解：和都是等边三角形，

，，，

，即，

在和中，

，

，

，，

，

，

点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，

时，最小，，

，为线段的中点，

，

设，则，，

由勾股定理可得，

，

解得，

即，

线段的最小值为．

故选：．

9．如图，矩形的边，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为

A．2 B．3 C． D．

【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，

，，，

，

则点在平行于，且与的距离为1的直线上运动，

当时，有最小值，

，

四边形是矩形，

，，

，，

，

故选．

10．已知等边的边长为8，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是

A． B．3 C． D．4

【解答】解：绕点逆时针旋转得到，

，

是边长为8的等边三角形，

，

，

点是边的中点，

，

当时，的长最小，此时，，

，

，

的最小值时，

故选：．

11．在等边中，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值是

A．1 B． C． D．

【解答】解：如图，将绕点旋转得到△，

点是边上一个动点