人教版九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径（解析版）实验.docxVIP

2022-2023学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

24.1.2垂直于弦的直径

题型导航

垂

垂

直

与

弦

的

直

径

利用垂径定理求值题型1

利用垂径定理求值

利用垂径定理求平行弦问题题型2

利用垂径定理求平行弦问题

利用垂径定理求同心圆问题题型3

利用垂径定理求同心圆问题

利用垂径定理求解其他问题题型4

利用垂径定理求解其他问题

垂径定理的推论题型5

垂径定理的推论

垂径定理的实际应用题型6

垂径定理的实际应用

题型变式

【题型1】利用垂径定理求值

1．（2020·内蒙古·阿荣旗孤山学校九年级期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）

A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

【答案】B

【解析】

【分析】

根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．

【详解】

解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，

此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，

连接OA，AM＝AB＝4，

由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．

即OA2＝42+32，

解得：OA＝5．

所以⊙O的半径是5cm．

故选：B．

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理，根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值是解题的关键．

【变式1-1】

2．（2022·江苏·九年级）在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．

【详解】

解：如图所示：过点O作于点C，

∵AB＝16cm，OC⊥AB，

∴BC＝ACAB＝8cm，

在Rt△BOC中，

故答案为：10．

【点睛】

此题考查了勾股定理，以及垂径定理，熟练掌握定理是解本题的关键．

【题型2】利用垂径定理求平行弦问题

1．（2022·黑龙江·一模）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点G，B，F，E，GB=5，EF=4，那么AD=______．

【答案】

【解析】

【分析】

连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在△OHF中，勾股定理计算．

【详解】

如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，

则EH=FH=EF=2，

∵GB=5，

∴OF=OB=，

在△OHF中，勾股定理，得

OH=，

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形OADH也是矩形，

∴AD=OH=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．

【变式2-1】

2．（2021·湖北·武汉市第四中学九年级阶段练习）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据垂径定理进行解答即可．

【详解】

解：∵E为AB中点，MN过圆心O，

∴MN⊥AB，

∴∠MEB＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠MFD＝∠MEB＝90°，

即MN⊥CD，

∴CF＝DF．

【点睛】

本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

【题型3】利用垂径定理求同心圆问题

1．（2021·全国·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.

A．6 B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.

【详解】

解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，

∵OA=OD=4，CD=2，

∴OC=2，

∴AC=，

∴AB=2AC=.

故答案为C.

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.

【变式3-1】

2．（2021·全国·九年级专题练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．

求证：AC=BD．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到A