人教版九年级数学上册专题22.6二次函数与四边形存在性问题（强化解析版）.docxVIP

专题22.6二次函数与四边形存在性问题

【例题精讲】

已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）设，把代入得：，

解得：，

，

该抛物线的解析式为；

（2）存在．如图2中，当是平行四边形的边时，，，可得或，

当为对角线时，点的横坐标为2，

时，，

．

综上所述，满足条件的点的坐标为或或．

如图，一次函数图象与坐标轴交于点、，二次函数图象过、两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）在中，令得，令得，

，，

二次函数图象过、两点，

，解得，

二次函数解析式为；

（2）存在，理由如下：

由二次函数可得其对称轴为直线，

设，，而，

与关于直线对称，

，

①当、为对角线时，如图：

此时的中点即是的中点，即，

解得，

当，时，四边形是平行四边形，

由，，可得，

，

四边形是菱形，

此时；

②、为对角线时，如图：

同理、中点重合，可得，

解得，

当，时，四边形是平行四边形，

由，，可得，

四边形是菱形，

此时；

③以、为对角线，如图：

、中点重合，可得，

解得，

，时，四边形是平行四边形，

由，，可得，

四边形是菱形，

此时；

综上所述，的坐标为：或或．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在第二象限内是否存在一点，使得四边形为矩形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把，代入抛物线，

得，

解得：，

该抛物线的解析式为；

（2）存在．过点作的平行线，过点作的平行线，两条直线相较于，则即为所求．

在中，令，则，

，

，，

，，，

，

，

，，

四边形是矩形，

设直线的解析式为，

则，

解得：，

直线的解析式为，

，

直线的解析式为，

，

直线的解析式为，

联立方程组，

解得：，

点坐标为．

若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与轴的另一交点为．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点在直线上，且在第四象限，过点作轴于点．

①若点在线段上，且，求点的坐标；

②以为对角线作正方形（点在右侧），当点在抛物线上时，求点的坐标．

【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，

，

对称轴为直线，经过，

，

解得，

抛物线的解析式为；

（2）①如图1中，

设直线的解析式为，

，，

，

解得，

直线的解析式为，

，关于直线对称，

，

设，

轴，

，

，

，

，

，

点，；

②如图2中，连接，交于点．设，则点，

四边形是正方形，

，，，

轴，

，

，

，

，

点在抛物线上，

，

解得，，

点在第四象限，

舍去，

，

点坐标为，．

【题组训练】

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点，与轴交于点、．且点，，点为抛物线上的一动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，作平行于轴交于点，连接，，当时，求点坐标；

（3）设抛物线的对称轴与交于点，点在直线上，当以点、、、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．

【解答】解：（1）将点，分别代入得，

，

，

二次函数的解析式为；

（2）轴，点，

当时，，

，，

，

，

设直线的解析式为，

将，分别代入得，

，

解得，

直线的解析式为；

设点的横坐标为，则，，

，

，

，

函数，当时，有，

，，

，

，

又，

，

，

，

解得：，，

或；

（3）抛物线的对称轴与交于点，

，

设，，

若，四边形为平行四边形，

，

解得或，

或；

若，四边形为平行四边形，同理求出；

若为对角线，则，

解得（不合题意舍去）或

综合以上可得出点的坐标为或或或．

5．抛物线经过、两点，顶点为点，连接，．

（1）求抛物线及直线的解析式；

（2）请你直接写出的面积；

（3）过点作轴，垂足为，平行于轴的直线交直线于点，交抛物线于点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）抛物线经过，两点，

，

解得，

即该抛物线的解析式为，

设直线的解析式为，

，

解得，

直线的解析式为；

（2）如图，过点作轴，交于点，

，

顶点的坐标为，，

直线的解析式为，

当时，，

，，

，

；

（3）设，，

，

以点、点、点、点为顶点的四边形为平行四边形，，

，

，

或，

当时，

，，

或，

当时，

，，

，或，，

综合以上可得，点的坐标为或或，或，．

6．如图，已知抛物线与轴的