2024浙江省重点高中提前招生数学综合练习2（含答案）.docxVIP

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2024年浙江省重点高中提前招生综合练习2(含答案）

在△ABC中，∠C=,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,正方形的中心为O，且OC=，求BC.

已知，

的值；

求证：.

实数满足，且，求的最大值和最小值.

如果正数可以是一个三角形的三边长，则称是三角形数，若和均为三角形数，且，求的取值范围.

若正整数满足，且，求的最小值.

已知为实数，求证：.

已知为实数，且,，求.

若表示不超过的最大整数，解方程.

求使得关于的不等式有解的实数的最大值.

设都是正数，且，求的取值范围.

若为实数，求使得成立的最大常数.

求使得不等式组对唯一的整数成立的最大正整数.

解方程：

如图，正方形ABCD的边长为1，点M、N分别在边BC、CD上，且△CMN的周长为2，求△MAN的面积的最小值.

已知是实数，且，求的最大值和最小值.

设,求的整数部分.

设△ABC的外心为O，在其边AB和BC上分别取点M和N，使得2∠MON=∠AOC.

求证;BM+BN+MN≥AC.

动物园的门票5元1张，每人限购1张.现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有5元的钞票，另外5个小朋友只有10的钞票，售票员没有零钱，10个小朋友随机排队购票.(1)有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱.(2)求售票员总能找得开零钱的概率.

设非负实数满足，求的最小值.

20.证明：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上（常称为欧拉线），且垂心与重心的距离是外心与重心距离的2倍.

参考答案

解：作EM⊥BC于M，连接OM.由∠ACB+∠AOB=，得A、C、B、O四点共圆.∴∠BCO=∠BAO=.同理∠OMB=∠OEB=.∴△OCM是等腰直角三角形.∴CM=OC=8.又易得△ABC≌△BEM,∴BM=AC=3.∴BC=CM-BM=8-3=5.

(1)解：由已知可得.∴原式=

(2)证明：∵=

，又

=

.

解：设，其中.∴,

又，.

.要使S最大，则取最小值0.此时，S有最大值20.同理，

.要使S最小，则取最小值.此时，S有最小值15.

解：由题意得..，.

...∴.

解得.又，.

解：由已知得，.

,（为正整数）.

.为完全平方数.，.此时.

的最小值为4380.

证明：，

.

解：原等式可化为.，∵，.又,

..

解：设，则..，.

...

解：由题意得，.∵有解，而，的最大值为.

解：由题意得，且

..

解：当时，.∵，.

的最大值为.当，即时，原不等式恒成立.此时，为一切实数.

综上，的最大值为.

解：由题意得，.∵整数是唯一的，且.

...

解：原方程化为.，.

∴..

解：延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND.∴AL=AN.∴△AMN≌AML.∴∠MAN=∠MAL=.设CM=，CN=，MN=.则.，..

..，当且仅当时等号成立.此时，为最小值.

解：，.又，

.设，则.解得..

，...

解：当时，.

..

的整数部分为4.

证明：把△OBM绕点O旋转到△AOK位置，把△BON绕点O旋转到△OCL位置.连接AK、KL、CL，由题意可得∠KOL=∠MON.又OK=OM，OL=ON，∴△OKL≌△BMN.∴KL=MN.∴BM+BN+MN=AK+CL+KLAC.

解：（1）把5元的5个小朋友看成相同的，把10元的5个小朋友也看成相同的，使用“逐点累加法”.图中每条小横线段表示拿5元的小朋友，每条小竖段表示拿10元的小朋友.要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横线段不小于竖线段.拿5元的要先走，且人数不能少于10元的，即不能越过对角线AB.共有排队方法：42×5！×5！=604800（种）；

售票员总能找得开零钱的概率为:.

解：不妨设，则

=

，当且仅当且时等号成立.，.由，∴可化为.∴.

∴当中的两个为2，一个为0时，的最小值为2.

如图，已知O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心.

求证：O、G、H三点共线，且GH=2GO.

证明：作△ABC外接圆的直径CL，由题意可得∠1==∠2.∴AL//BE.又∠LBC=∠ADC=,∴LB//AD.

∴四边形ALBH是平行四边形.∴AH=LB=2FO.又AG=2FG，.又OF⊥BC，AD⊥BC，∴OF//AD.∴∠OFG=∠3，∴△OFG∽△HAG.∴∠OGF=∠AGH.∴O、G、H三点共线.