第53讲　抛物线---高中数学教学资料.docxVIP

第53讲抛物线

【备选理由】例1主要考查抛物线的定义及应用;例2考查抛物线的简单性质,考查转化的思想方法与运算求解能力;例3考查直线与抛物线的位置关系;例4考查直线与抛物线的位置关系,考查抛物线与圆的综合问题,综合性较强;例5考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系.

例1[配例1使用](多选题)设抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,点M为C上一动点,E(3,1),则下列结论正确的有 (BC)

A.准线l的方程是y=-2

B.以线段MF为直径的圆与y轴相切

C.|ME|+|MF|的最小值为5

D.|ME|-|MF|的最大值为2

[解析]对于A,抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2,故A错误;对于B,设M(x0,y0),线段MF的中点为D,则|MF|=x0+2,D的坐标为x0+22,y02,所以xD=x0+22=|MF|2,即点D到点M,F和y轴的距离相等,所以以线段MF为直径的圆与y轴相切,故B正确;对于C,过M作准线l的垂线,垂足为N,连接NE,由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以|ME|+|MF|=|ME|+|MN|,易知当E,M,N三点共线且NE⊥l时,|ME|+|MN|有最小值,最小值为3+2=5,所以|ME|+|MF|的最小值为5,故C正确;对于D,连接EF,可得|ME|-|MF|≤|EF|,当E,F,M三点共线且F在线段ME上时,|ME|-|MF|有最大值,最大值为|EF|=(3-

例2[配例3使用](多选题)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点,设线段AB的中点为P,则下列说法正确的是 (BCD)

A.若抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4,则抛物线的方程为y2=4x

B.以线段AB为直径的圆与准线相切

C.线段AB长度的最小值是2p

D.sin∠PMN的取值范围为1

[解析]由题意,抛物线y2=2px(p0)的焦点为Fp2,0,准线方程为x=-p2,设A(x1,y1),B(x2,y2).对于A,由抛物线上的点E(2,t)到点F的距离为4,可得2+p2=4,解得p=4,所以抛物线的方程为y2=8x,所以A不正确.对于B,分别过点A,B,P作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,Q,则线段AB的中点P到准线的距离为|PQ|=|AA1|+|BB1|2,根据抛物线的定义,可得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|,所以|PQ|=12|AB|,所以以线段AB为直径的圆与准线相切,所以B正确.对于C,由抛物线的定义,可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=p2,由x=p2,y2=2px,可得y=±p,不妨令y1=p,y2=-p,此时|AB|=2p;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-p2,易知k≠0,由y=kx-p2,y2=2px,整理得k2x2-(k2p+2p)x+k2p24=0,可得x1+x2=k2p+2pk2,所以|AB|=x1+x2+p=k2p+2pk2+p=2p+2pk22p.综上可得,线段AB长度的最小值是2p,所以C正确.对于D,根据题意设直线l的方程为x=my+p2,由x=my+p2,y2=2px,整理得y2-2pmy-p2=0,可得y1+y2=2pm,则x1

例3[配例4使用][2023·宁德模拟]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,N为C上一点,且N在第一象限内,直线FN与C的准线交于点M,过点M且与x轴平行的直线与C交于点P,若|MN|=2|NF|,则△MPF的面积为 (C)

A.8 B.12

C.43 D.46

[解析]设直线NF的倾斜角为θ,准线x=-1与x轴的交点为H,过N作NN垂直于准线,交准线于N,则|NF|=|NN|.由|MN|=2|NF|,得|MN|=2|NN|.当0θπ2时,∠NNF=π3,所以∠MFH=θ=π3.在Rt△MFH中,|HF|=2,∠MHF=π2,∠MFH=π3,所以|HM|=23,所以M(-1,-23).将y=-23代入y2=4x,得x=3,所以P(3,-23),此时△MPF的面积为12×[3-(-1)]×23=43.当π2θπ时,∠MNN=π3,则∠MFH=π3,θ=2π3.在Rt△MFH中,|HF|=2,∠MHF=π2,∠MFH=π3,所以|MH|=23,所以M(-1,23).将y=23代入y2=4x,得x=3,所以P(3,23),此时△MPF的面积为12×[3-(-1)]×23=4

例4[配例4使用](多选题)[2023·聊城二模]设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点