第52讲　双曲线---高中数学教学资料.docxVIP

第52讲双曲线

【备选理由】例1考查双曲线的定义,并且与圆结合,需要比较强的转化能力;例2考查直线与双曲线的位置关系,综合性较强;例3考查双曲线的几何性质,考查运算求解能力;例4考查双曲线的渐近线和离心率;例5考查直线与双曲线的位置关系,考查根与系数的关系等知识.

例1[配例1使用]已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若△ABF2的内切圆与边AF2相切于点P,且AP的长为4,则

[解析]设△ABF2的内切圆与边AB,BF2分别相切于点M,N,则由题知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|,由双曲线的定义得|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,即|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|NF2|=|MA|+|AF2|-2a-|NF2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=|MA|+|AP|-2a=8-2a=2a,解得a=2.

例2[配例5使用]已知F1,F2分别是双曲线C:x23-y29=1的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,△AF1F2和△BF1F2的内心分别为M,N,则|MN|的取值范围是[2

[解析]设△AF1F2的内切圆与边AF1,AF2,F1F2分别相切于点R,S,T,则M,T的横坐标相等,且|AR|=|AS|,|F1R|=|F1T|,|F2S|=|F2T|.由双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=23,即|AR|+|RF1|-(|AS|+|SF2|)=23,得|RF1|-|SF2|=23,即|F1T|-|F2T|=23.记M的横坐标为x0,则T(x0,0),所以x0+23-(23-x0)=23,解得x0=3,同理得N的横坐标也为3,则MN⊥x轴.

不妨设A在第一象限内,直线AB的倾斜角为θ,O为坐标原点,则∠OF2N=θ2,∠MF2O=90°-θ2.在△MF2N中,|MN|=(23-3)tanθ2+tan90°-θ2=3·sinθ2cosθ2+cosθ2sinθ2=23sinθ.因为直线AB与双曲线的右支交于两点,

例3[配例3、例4使用](多选题)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=kx交于A,B两点,点P为C上异于A,B的一个动点,记直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2.若kPA·kPB=14

A.a=2

B.C的离心率为5

C.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为2

D.若△PF1F2的面积为25,则△PF1F2为钝角三角形

[解析]对于A,B,设A(x1,y1),B(-x1,-y1),P(x0,y0),则x12a2-y12b2=1,x02a2-y02b2=1,两式相减,得x12-x02a2=y12-y02b2,所以y12-y02x12-x02=b2a2,因为kPA·kPB=(y0-y1)(y0+y1)(x0-x1)(x0+x1)=14,所以b2a2=14,所以ba=12,所以双曲线的渐近线方程为y=±12x.因为焦点F2(c,0)到渐近线y=12x的距离为1,所以c5=1,可得c=5,又因为c2=a2+b2,所以a=2,b=1,所以双曲线的离心率e=52,所以A,B均正确.对于C,不妨设P在双曲线的右支上,记|PF2|=t,则|PF1|=4+t,因为PF1⊥PF2,所以(t+4)2+t2=4c2=20,解得t=6-2或t=-6-2(舍去),所以△PF1F2的面积为12|PF2||PF1|=12×(6-2)×(6+2)=1,所以C不正确.对于D,P(x0,y0),因为S△PF1F2=12×2c·|y0|=5|y0

例4[配例3、例4使用]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),若过双曲线的右焦点F且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点,则此双曲线的离心率

[解析]∵直线与双曲线的右支有两个交点,∴batan30°=33,∴b33a,又b=c2-a2,∴c2-a233a,可得c233a,∴

例5[配例5使用][2022·新高考全国Ⅰ卷]已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点

(1)求l的斜率;

(2)若tan∠PAQ=22,求△PAQ的面积.

解:(1)将点A的坐标代入双曲线C的方程得4a2-1a2-1=1,可得a2=2,故双曲线C的方程为

由题知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立直线l与双曲线C的方程,可得(2k2-1)x2+4km