专题10 数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)（解析版）.docxVIP

专题10数列求和（插入新数列混合求和）(典型题型归类训练)

目录

TOC\o1-2\h\u一、典型题型 1

题型一：插入新数列构成等差 1

题型二：插入新数列构成等比 5

题型三：插入新数混合 7

二、专题10数列求和（插入新数列混合求和）专项训练 11

一、典型题型

题型一：插入新数列构成等差

例题1．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列的前项和为，且满足：

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

【详解】（1）由①

得时②

①-②得，①中令得，

是以为首项，为公比的等比数列，，

（2）

假设存在这样的三项成等比数列，

为递增数列，不妨设，

则

则，

成等差数列，

，，

由，得，所以，与题设矛盾

不存在这样的三项（其中成等差数列）成等比数列.

例题2．（2023·全国·高二课堂例题）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．

(1)求数列的通项公式．

(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)是数列的第8项．

【详解】（1）设数列的公差为．

由题意可知，，，于是．

因为，所以，所以．

所以．

所以数列的通项公式是．

（2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则．

令，解得．

所以是数列的第8项．

例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列和其前n项和满足.

(1)求的通项公式；

(2)在和之间插入m个数，使得这个数依次构成一个等差数列，设此等差数列的公差为，求满足的正整数m的最小值.

【答案】(1)

(2)6

【详解】（1）依题意，设等比数列的公比为，则，，

因为，所以，解得或（舍去），

因为，所以，

即，解得或（舍去），

所以；

（2）由题意可得，，

则，

故数列单调递增，不难发现，

故满足题意的m的最小值为6.

例题4．（2023春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知等比数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这n个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）设等比数列的公比为q，

当时，有，则①，

当时，，两式相减可得：，

整理得，可知，代入①可得，

所以等比数列的通项公式为；

（2）由已知在与之间插入n个数，组成以为首项的等差数列，设公差为，

所以

则，

设，则是递增数列，

当n为偶数时，恒成立，即，所以；

当n为奇函数时，恒成立，即，所以；

综上所述，的取值范围是．

例题5．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考期中）已知数列的前项和为，且.

(1)求及数列的通项公式；

(2)在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和.

【答案】(1)，，

(2)

【详解】（1）由题意，当时，，解得，

当时，，即，解得，

当时，由，可得，两式相减，可得，

整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，.

（2）由（1）可得，，，

在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，

则有，

∴，∴，

∴，

，

两式相减得，

∴.

题型二：插入新数列构成等比

例题1．（2023·全国·高二专题练习）在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（????）

A．30 B．91 C．273 D．820

【答案】C

【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，

所以，则由，得，

即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，

其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，

且，

所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.

故选：C.

例题2．（2023·全国·高三专题练习）在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于.

【答案】27

【详解】依题意，，所以，所以或（舍去），

所以.

故答案为：

例题3．（2023·高二课时练习）设，在a，b之间插入个实数，，…，，使得这个数成等差数列，则有结论成立．若，在a，b之间插入个正数，，…，，使得这个数成等比数列，则有相应的结论成立．

【答案】

【详解】因为，，，…，，成等比数列，

则，

则

则，即