新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第11讲 指数与对数的运算（解析版）.doc

第11讲指数与对数的运算

【基础知识全通关】

知识点01根式

(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(eq\r(n,a))n＝a(a使eq\r(n,a)有意义)；当n为奇数时，eq\r(n,an)＝a，当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

知识点02分数指数幂

(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意义是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a0，b0，r，s∈Q.

知识点03对数的概念

如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

知识点04对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).

(2)对数的运算法则

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

④logamMn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R，且m≠0).

(3)换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1).

【考点研习一点通】

考点01指数幂的运算

1.化简eq\f(5,6)aeq\s\up6(\f(1,3))·b－2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3a－\f(1,2)b－1))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a\s\up6(\f(2,3))·b－3))eq\s\up6(\f(1,2))(a，b0)

【解析】原式＝－eq\f(5,2)a－eq\f(1,6)b－3÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a\s\up6(\f(2,3))·b－3))eq\s\up6(\f(1,2))

＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,6)b－3÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,3))b－\f(3,2)))＝－eq\f(5,4)a－eq\f(1,2)·b－eq\f(3,2)

＝－eq\f(5,4)·eq\f(1,\r(ab3))＝－eq\f(5\r(ab),4ab2).

【答案】eq\f(5\r(ab),4ab2).

【方法技巧】

1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

【变式】若实数a0，则下列等式成立的是()

A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝eq\f(1,2a3)

C．(－2)0＝－1 D．(aeq\s\up8(－eq\f(1,4)))4＝eq\f(1,a)

【答案】D

【解析】对于A，(－2)－2＝eq\f(1,4)，故A错误；对于B,2a－3＝eq\f(2,a3)，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(aeq\s\up8(－eq\f(1,4)))4＝eq\f(1,a)，故D正确。

考点02比较指数式的大小

2．设SKIPIF10，则SKIPIF10的大小关系为（）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】D

【解析】因为SKIPIF10，

SKIPIF10，

SKIPIF10，

所以SKIPIF10.

故选D．

【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；

【变式2】设a＝0.6