新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第13讲 对数函数（解析版）.doc

对数函数

【基础知识网络图】

对数与对数函数

对数与对数函数

图象与性质

对数运算性质

对数函数的图像与性质

对数的概念

指对互化运算

【基础知识全通关】

知识点01对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x1时，y0；

当0x1时，y0

当x1时，y0；

当0x1时，y0

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

知识点02反函数

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

【知识拓展】

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a0，且a≠1，b0，且b≠1，m，n∈R.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图象只在第一、四象限.

【考点研习一点通】

考点01：对数函数的概念与图象

【典例1】函数与函数在同一坐标系的图像只可能是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

当时，对数函数为增函数，当时函数的值为负.无满足条件的图像.

当时，对数函数为减函数，当时函数的值为正.C满足.

故选：C

【典例2】在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【典例3】在同直角坐标系中，SKIPIF10与SKIPIF10的图象可能是（）

A． B．C． D．

【答案】A

【解析】

利用函数SKIPIF10的单调性排除选项，以及根据函数SKIPIF10的图象判断SKIPIF10，再利用函数SKIPIF10的对称性排除选项.

【详解】

函数SKIPIF10的单调性与SKIPIF10的单调性一致，两段区间都是单调递增，故排除BC，AD选项中，SKIPIF10，当SKIPIF10时，SKIPIF10，即SKIPIF10，

而SKIPIF10关于点SKIPIF10对称，因为SKIPIF10，故排除D.

故选：A

【总结提升】

1.对数函数的解析式同时满足：

①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.

2.(1)不管a1还是0a1，底大图低；

(2)在第一象限内，依图象的分布，逆时针方向a逐渐变小，即a的值越小，图象越靠近y轴．

3.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．

4．对数值logax的符号(x0，a0且a≠1)规律：“同正异负”．

(1)当0x1,0a1或x1，a1时，logax0，即当真数x和底数a同大于(或小于)1时，对数logax0，即对数值为正数，简称为“同正”；

(2)当0x1，a1或x1,0a1时，logax0，即当真数x和底数a中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围“相异”时，对数logax0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．

5．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应指数函数，对数函数的图象与性质的问题．

考点02：对数函数的性质及应用

【典例4】设SKIPIF10，则（）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【解析】

根据指数运算与对数运算得SKIPIF10，SKIPIF10