新高考数学一轮复习讲与练第18讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（讲）（解析版）.docVIP

第01讲空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积

本讲为高考命题热点，其中几何体的结构特征三视图直观图在前几年常以选择题固定出现，5分分值，结合几何体的体积与表面积，难度较小，但是对于单选题或填空题的压轴题，偶尔会出现外接球内切球问题，有一定难度，考察学生逻辑推理能力与运算求解能力，空间想象能力.

考点一空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称

棱柱

棱锥

棱台

图形

底面

互相平行且全等

多边形

互相平行且相似

侧棱

平行且相等

相交于一点，但不一定相等

延长线交于一点

侧面形状

平行四边形

三角形

梯形

(2)旋转体的结构特征

名称

圆柱

圆锥

圆台

球

图形

母线

互相平行且相等，垂直于底面

相交于一点

延长线交于一点

轴截面

矩形

等腰三角形

等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

考点二直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

考点三三视图

(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.

(2)画出的三视图要长对正，高平齐，宽相等.

考点四空间几何体的表面积与体积

1.多面体的表(侧)面积

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面

展开

图

侧面

积公

式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π(r1＋r2)l

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体

表面积

体积

柱体(棱柱和圆柱)

S表面积＝S侧＋2S底

V＝S底h

锥体(棱锥和圆锥)

S表面积＝S侧＋S底

V＝eq\f(1,3)S底h

台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

考点五方法技巧

1.常见旋转体的三视图

(1)球的三视图都是半径相等的圆.

(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图二者为全等的等腰三角形.

(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图二者为全等的等腰梯形.

(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图二者为全等的矩形.

2.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”.在三视图的判断与识别中要特别注意其中的虚线.

3.直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝eq\f(\r(2),4)S原图形.

4.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R

(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；

(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

5.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

6.正四面体的外接球的半径R＝eq\f(\r(6),4)a，内切球的半径r＝eq\f(\r(6),12)a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).

高频考点一空间几何体的结构特征

【例1】（1）给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是()

A.0 B.1

C.2 D.3

答案A

解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.

（2）以下四个命题中，真命题为()

A.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

B.底面是矩形的平行六面体是长方体

C.直四棱柱是直平行六面体

D.棱台的侧棱延长后必交于一点

答案D

解析A中等腰三角形的腰不一定是侧棱，A是假命题，B中，侧棱与底面矩形不一定垂直，B是假命题，C中，直四棱柱的底面不一定是平行四边形，C不正确，根据棱台的定义，选项D是真命题.

（3）若四面体的三对相对棱分别相等，则称之为等腰四面体，若四面体的一个顶点出