专题1-1 基本不等式归类（原卷版）.docxVIP

专题1-1基本不等式归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型01公式基础 1

题型02基础模型：倒数型 2

题型03常数代换型 3

题型04积与和型 4

题型05积与和互化解不等式型 4

题型06构造分母和定型 5

题型07凑配系数构造分母和定型 5

题型08换元构造分母和定型 6

题型09分子与分母互消型 7

题型10“1”代换综合型 7

题型11分子消去型 8

题型12消元型 8

题型13齐次化构造型 9

题型14三角换元构造型 9

题型15因式分解双换元型 10

题型16配方型 11

高考练场 11

题型01公式基础

【解题攻略】

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（????）

A． B． C． D．2

【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（????）

A．x＋(x0)的最小值是2 B．的最小值是2

C．的最小值是 D．若x0，则2－3x－的最大值是2－4

【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（????）

A．若，则

B．若x＞0，y＞0，则

C．若x＜0，则

D．若x＜0，则

【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（????）

A． B．

C． D．

题型02基础模型：倒数型

【解题攻略】

倒数型：

，或者

容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，

【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（????）．

A． B． C． D．

【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（????）

A． B． C． D．

【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为

A．0 B． C． D．

题型03常数代换型

【解题攻略】

利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换

条件和结论有“分子分母”特征；

（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件

结构形式：

（1）求

（2）求

【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为.

【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（????）

A．10 B．11 C．13 D．21

【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为．

【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为.

【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是.

题型04积与和型

【解题攻略】

积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。

形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解

【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（???????）

A．16 B．6 C．18 D．12

【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（???????）

A． B． C． D．

【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（）

A． B． C． D．

【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（???????）

A．18 B．15 C．20 D．13

【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练