专题8-1排列组合归类（解析版）.docxVIP

专题8-1排列组合归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型01基础模型：人与座位 1

题型02基础模型：先分组后排列 3

题型03基础模型：保序型 4

题型04基础模型：数字化法 5

题型05基础模型：空车位等相同元素型 8

题型06基础模型：多重受限条件型 10

题型07地图染色型 11

题型08立体几何型 14

题型09医生、护士等平均分配型 16

题型10走楼梯模型 18

题型11挡板法模型 20

题型12相同元素型 21

题型13不定方程模型 22

题型14球放盒子型：公交车模型 24

题型15球放盒子型：电梯模型 26

题型16球放盒子型： 27

题型17配对模型 29

题型18机器人跳棋模型 30

高考练场 32

题型01基础模型：人与座位

【解题攻略】

模型：人坐座位

特征：

一人一位；

2有顺序；

座位可能空；

人是否都来；

要时，座位拆迁，剩余座位随人排列

难题特征：

相邻：捆绑法捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）

不相邻：插空法

限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，属于超难题

【典例1-1】（2024上·江苏南通·高三统考）第三届“一带一路”国际高峰论坛于年月在北京召开，某记者与参会的名代表一起合影留念（人站成一排）.若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.

【答案】

【分析】先考虑代表甲与代表乙相邻，利用捆绑法求出排法种数；然后考虑记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，求出此时的排法种数.再利用间接法可求得结果.

【详解】只考虑代表甲与代表乙相邻，只需将这两人捆绑，与剩余人进行排序，

共有种不同的排法，

若记者站两端中的某个位置，且代表甲与代表乙相邻，则记者有种站法，

然后将代表甲与代表乙捆绑，与剩余人进行排序，此时不同的站法种数为种，

因此，若记者不站两端，且代表甲与代表乙相邻的不同排法方式有种.

故答案为：.

【典例1-2】（2024·云南昆明·统考一模）春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为.（用数字作答）

【答案】18

【分析】先把小王、小李视为1组，再把剩下的3人分成2组，把这3组全排列即可.

【详解】把小王、小李视为1组，

剩下的3个人先分成2组，分组的方式是：1，2；

则有，

把这3组人再分配给3个敬老院，则.

故答案为：18

【变式1-1】（2024上·广东广州·高三华南师大附中校考）现有甲、乙、丙、丁、戊等共7人排成一列，位置排列要求甲要站在首位或者末位，乙和丙要站在一起，丁和戊不能相邻，共有种排法．

【答案】288

【分析】利用分步乘法计数原理，结合相邻问题、不相邻问题及特殊元素站位列式计算即得.

【详解】先把乙丙捆绑在一起与除甲丁戊外的另两人作全排列，并把乙丙排列，有种，

再把丁戊插入前面排列形成的4个空隙（除乙丙间的外）中，有种，

最后让甲站首末两位之一有种，

由分步乘法计数原理得不同排法种数是.

故答案为：288

【变式1-2】（2024上·河南南阳·高三校联考）某观光旅游团计划在春节期间，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天，连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天，乙、丙、丁三个小镇排在相邻的三天，则不同的游览顺序方案共有种.

【答案】72

【分析】现将乙、丙、丁三个小镇捆绑，然后从中间2个位置选出一个安排甲小镇，剩余全排列.求出各步的方案，根据分步乘法计数原理，相乘即可得出答案.

【详解】分步：

第一步，把乙、丙、丁三个小镇捆绑，看成一个元素，三个小镇的游览顺序有种方案；

第二步，将该整体与其他三个小镇作为4个元素，依次对应4个游览位置进行安排，中间2个位置选一个作为小镇甲的游览有种方案；

第三步，剩余三个元素进行全排有种方案.

根据分步乘法计数原理可知，不同的游览顺序方案共有种.

故答案为：72.

【变式1-3】（2023上·广东东莞·高三校考阶段练习）某中学为庆祝建校130周年，高三年级派出甲?乙?丙?丁?戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有种(用数字作答)．

【答案】24

【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.

【详解】将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种，

排完后其中有3个空，