专题8-2分布列综合归类（解析版）.docxVIP

专题8-2分布列综合归类

目录

TOC\o1-1\h\u题型01“马尔科夫链”模型 1

题型02基础分布：两点分布 6

题型03基础分布：超几何分布 10

题型04基础分布：二项分布 14

题型05基础分布：正态分布 18

题型06基础比赛型分布列 23

题型07复杂条件比赛型分布列 25

题型08三人、多人比赛型分布列 30

题型09传球模式 34

题型10药物检验方案比较 38

题型11证明或者求数列型分布列 41

高考练场 47

题型01“马尔科夫链”模型

【解题攻略】

马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态

马尔科夫不等式

设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，

马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．

证明：当为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：

设的分布列为其中，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和．的影响，与之前的无关.

【典例1-1】乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．

【解析】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，

所以，

.

（2）设，依题可知，，则

，

即，构造等比数列，

设，解得，则，

又，所以是首项为，公比为的等比数列，

即．

（3）因为，，

所以当时，，

故．

【典例1-2】（2023下·辽宁高三校联考）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C．数列是等比数列 D．的数学期望

【答案】ACD

【分析】利用已知条件求出，，即可判断A，B；

利用推出，可判断C；

利用可判断D.

【详解】由题意，，故A正确；

，，故B错误；

当时，

整理得，，

故可知是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；

，，

，

因，所以，

，

故D正确，

故选：ACD.

【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为．

(1)求的值；

(2)求的值（用表示）；

(3)求证：的数学期望为定值．

【答案】(1)，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得.

（2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解.

（3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望.

【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为．

由题意知，，

所以．

（2）因为，

所以．

又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．

所以，．

（3）因为①，

②．

所以①②，得．

又因为，所以．所以．

所以的概率分布列为：

0

1

2

p

所以．

所以的数学期望为定值1．

【变式1-2】（2023上·贵州黔西·高三兴义第一中学校联考阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第，，，…次状态无关，即.已知甲盒子中装有2个黑球和1个白球，乙盒子中装有2个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复次这样的操作.记甲盒子中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为.

(1)求，和，；

(2)证明：为等比数列（且）；

(3)求的期望（用表示，且）.

【答案】(1)

(2)证明见解析