人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.2.3 直线与平面的夹角.pptVIP

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1直线与平面所成的角;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)直线与平面所成的角就是该直线与平面内的直线所成的角.()

(2)若直线与平面相交,则该直线与平面所成的角的范围为(0,).();知识点2最小角定理

(1)线线角、线面角的关系式

如图,设OA是平面α的一条斜线段,O为斜足,A为A在平面α内的射影,而OM是平面α内的一条射线.θ是OA与OM所成的角,θ1是OA与OB所成的角,θ2是OB与OM所成的角,则有cosθ=.?;过关自诊

1.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成角均为135°,则PC与平面α所成角的余弦值是();2.将公式cosθ=cosθ1cosθ2中角的余弦值换成正弦值是否成立?;知识点3用空间向量求直线与平面的夹角

如果v是直线l的一个方向向量,n是平面α的一个法向量,设直线l与平面α所成角的大小为θ,则有;重难探究?能力素养全提升;;规律方法1.利用定义法求直线与平面所成的角,首先要作出斜线和这条斜线在平面内的射影所成的锐角,然后通过解三角形求出直线与平面所成的角的大小.其基本步骤可归纳为“一作,二证,三计算”.

2.找射影的两种方法;变式探究

在本例中将条件“E为棱AD的中点”改为.其他不变,结论又如何?;;规律方法通过此类例题不仅要熟悉求直线与平面夹角的一般流程,更重要的是注意对所给几何体的结构分析、合理建系是问题的关键,如果求夹角还要结合线面角的范围.;变式训练1

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C;

(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.;(1)证明取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.

因为CA=CB,所以OC⊥AB.

由于AB=AA1,∠BAA1=60°,

故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.

因为OC∩OA1=O,OC,OA1?平面OA1C,所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C.;以O为坐标原点,分别以OA,OA1,OC为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.;;规律方法1.最小角定理是立体几何的重要定理之一,指与平面斜交的直线与它在该平面内的射影的夹角不大于该直线与平面内其他直线的夹角.

2.本例中先明确直线BE与CD所成角的余弦值是突破口,再利用最小??定理即可做出判断.;变式训练2

PA,PB,PC是由P点出发的三条射线,两两夹角均为60°,则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是();;【规范答题】;归纳提升(1)此类问题属于逆向思维问题,解决思路也是建立合适的空间直角坐标系,将相关点坐标明确或设出,然后根据空间角的计算公式表达出含参数的方程或函数.

(2)解决此类问题还要注意题目中各动点的限制范围.;学以致用?随堂检测全达标;1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量,若cosm,n=-,则l与α所成的角为()

A.30° B.60° C.120° D.150°;2.AB⊥平面α于点B,BC为AC在α内的射影,CD在α内,若∠ACD=60°,

∠BCD=45°,则AC和平面α所成的角为()

A.90° B.60° C.45° D.30°;答案D;4.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α成30°角,则斜边上的中线CM与平面α所成的角为.?;5.如图所示,四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求CS与平面ABCD所成的角的正弦值.;本课结束