人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量基本定理.pptVIP

第一章1.1.2空间向量基本定理

课程标准1.掌握共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理及空间向量基本定理的内容及含义;2.理解基底、基向量的概念,能用恰当的基底表示空间向量;3.能用共线向量基本定理、平面向量基本定理、共面向量定理和空间向量基本定理解决立体几何中的简单问题.

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知识点1空间中的共线向量基本定理由于向量可以平移,该定理与平面上的共线向量定理相同两个空间向量a,b,如果a≠0,且b∥a,则的实数λ,使得.?名师点睛存在唯一b=λa

过关自诊已知向量a,b不共线,p=ka+b,q=a-k2b,若p,q共线,则k的值是()A.0 B.1 C.-1 D.2C解析若p,q共线,则存在唯一的实数x,使p=xq,即ka+b=xa-xk2b,则

知识点2共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量a,b,c共面的充要条件是,存在唯一的实数对(x,y),使c=xa+yb.名师点睛证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示:只需判断三个向量中的一个向量是否可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.(2)若存在有序实数组(x,y,z)使得对于空间任一点O及不共线的三点A,B,C,

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)√×

2.向量a,b均是非零向量,a,b不共线,在空间中任取一点O,作=a,=b,若向量c与a,b共面,则表示c的有向线段所在的直线与平面OAB的关系是什么?解表示c的有向线段所在直线与平面OAB平行或该直线在平面OAB内.

知识点3空间向量基本定理如果空间中的三个向量a,b,c,那么对空间中的任意一个向量p,存在的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.空间中不共面的三个向量a,b,c组成空间向量的一组基底,记为{a,b,c}.此时,a,b,c都称为基向量;如果p=xa+yb+zc,则称xa+yb+zc为p在基底{a,b,c}下的分解式.?名师点睛任意三个不共面向量都可构成空间向量的一组基底,每一个空间向量都可被分解成任意一组基底的线性组合,同一个向量在同一组基底下的分解式是唯一的.不共面唯一

过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底.()(2)任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底.()(3)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(x,y,z),使0=xa1+ya2+za3.()×××

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探究点一空间向量共线的判定【例1】如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1D1,AB的中点,E在AA1上且AE=2EA1,F在CC1上且

变式探究本例中问题改为“用向量法证明四边形EMFN为平行四边形”.∵点M,N,F,E不在一条直线上,∴四边形EMFN为平行四边形.

规律方法1.判断两向量是否共线:判断两向量a,b(b≠0)是否共线,即判断是否存在实数λ,使a=λb.本例中紧紧围绕之间的关系,正是体现了共线向量基本定理的应用要领.2.求解参数:已知两非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若a∥b,b≠0,则a=λb(λ∈R)”.这一结论可逆向解决已知条件为向量平行的若干问题.3.判断或证明空间中的三点(如P,A,B)是否共线的方法

变式训练1如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.

证明如图,取CD的中点E,连接AE,BE.因为M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,所以M在BE上,N在AE上.

又因为BN与BG有公共点B,所以B,G,N三点共线.

探究点二空间向量共面问题【例2】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在BB1和DD1证明:A,E,C1,F四点共面.

规律方法证明空间三向量共面或四点共面的方法设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若p=xa+yb,则向量p,a,b共面.对于此方法的使用要注意涉及的向量的始点、终点问题.x+y+z=1成立,则P,A,B,C四点共面.可使用这一推论进行共面的证明.

(2)点M是否在平面ABC内?

∵它们有共同的起点M,且A,B,C三点不共线,∴M,A,B,C四点共面,即点M在平面ABC内.

探究点三空间向量基本定理角度1.基底的判断

∴