专题01 圆的认识以及与圆有关的概念 （原卷版）.pdfVIP

专题01圆的认识以及与圆有关的概念

圆——知识点总结归纳

圆的定义以及相关元素

（1）集合形式的概念：

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；

3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

（2）轨迹形式的概念：

圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆

（3）圆中相关元素概念

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分，半圆周也是弧。

劣弧：小于半圆周的弧。

优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1°的圆

心角，我们也称这样的弧为1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

6、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

8、弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

9、同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；

同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．

注意：同圆或等圆的半径相等．

圆的对称性

（1）旋转对称性

1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，

总能与自身重合．

2、圆的旋转对称性Þ圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．

（2）轴对称性

1、圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴．

2、圆的轴对称性Þ垂径定理．

垂径定理：

（一）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（二）推论1：

①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

（三）推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等．（扩展）

即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC=弧BDCD

O

AB

注意：若“过圆心的直线”、“垂直于弦”、“平分弦（非直径）”、“平分弦所对的优弧”、“平

分弦所对的劣弧”中的任意两个成立，则另外三个都成立．

（四）注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根

据垂径定理与勾股定理有：r2=d2+(a)2，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量

2

就可以求出第三个量．

O

r

d

a

ACB

2

圆的性质定理

（1）圆周角定理

1、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

2、推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相

等．

2()90°

推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

1、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的

弦心距相等．

2、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．