专题01 与角平分线有关辅助线的四种做法（解析版）.pdfVIP

专题01与角平分线有关辅助线的四种做法

【基础知识点】

1.过角平分线上一点向角的两边作垂线段：

2.在角的两边上截取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形：

3.构造等腰三角形：

类型一、作垂线、分两边

例．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是

________．

【答案】5

DDE^ACABF

【详解】过作，，DF^AB交延长线于，

ADÐBACDE^AC

∵平分，，DF^AB，

∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90°=∠DEA，

∵∠BAC+∠BDC+∠DCE+∠DBA=360°，

∠BAC=120°，∠BDC=60°，

∴∠DCE+∠DBA=180°，

∵∠DBF+∠DBA=180°，

∴ÐDCE=ÐDBF，

在VDEC和△DFB中，

ÐDCE=ÐDBF

ì

ï

íÐDEC=ÐDFB

ï

DE=DB

î

∴△DEC≌△DFBAAS，

∴CE=BF，

在Rt△DEA和RtVDFA中，

DE=DF

ì

í，

DA=DA

î

∴Rt△DEA≌△DFAHL，

∴AE=AF，

∵AE=AC-CE,AF=AB+BF，

∴AC-CE=AB+BF，

∴CE+BF=AC-AB=1，

1

∴CE=BF=，

2

5

∴AF=AB+BF=，

2

∵AD平分ÐBAC，

1

∴∠DAB=∠BAC=60°，

2

∴∠ADF=180°-∠DAB-∠DFB=30°，

∴AD=2AF=5．

1oBCÐADC

【变式训练】如图所示，，是的中点，DE平分．

ÐB=ÐC=90E

1AE2CD=2cm,ÐBAD=60o

（）求证：是ÐDAB的平分线；（）若，求AD的长．

【答案】（1）详见解析；（2）8cm.

【详解】

1EF

（）证明：过点分别EF^AD于，

∴∠DFE=∠AFE=90°．

∵∠B=∠C=90°，

∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．

∴CB⊥AB，CB⊥CD．

∵DE平分∠ADC．

∴∠EDC=∠EDF，CE=EF．

∵E是BC的中点，

∴CE=BE，

∴BE=EF．

在Rt△AEB和Rt△AEF中，

EB=EF

ì

í，

AE=AE

î

∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），

∴∠EAB=∠EAF，

∴AE是∠DAB的平分线；

（2）解：∵∠B=∠C=90°，

∴AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠BAD=60°，DE平分ÐADC，AE是∠DAB的平分线，

∴ÐADE=ÐCDE=60°，ÐDAE=30°，∠DEA=90°，

∵∠C=90°

∴∠DAE=30°