数值计算方法(全套463页PPT课件).pptxVIP

数值计算方法;1.1数值计算方法的意义、内容与方法;现代科学研究的三大支柱;建立数学模型;21世纪信息社会的两个主要特征：

“计算机无处不在”

“数学无处不在”;通过算法的学习建立信息技术与数学的整合.培养

学生使用计算机技术学习数学的习惯与技能.;一、计算数学的产生和早期发展;数值计算方法学什么？;数值软件;一些无法直接求解的数学问题;4计算定积分;计算机用来

进行计算.

解决问题.

算法

解决问题的一系列有序的步骤

程序

提供给计算机来解决问题的一系列的有序指令.

;1.用日常语言描述；

2.用数学语言加以叙述；

3.借助形式语言（算法语言）给出精确的说明；

4.用框图直观地显示算法的全貌。;例1：求解一般的二元一次方程组的算法;方程组可化为：;令;输入;例2:写出一个求任意3个整数的最大值的算法;如果例2变为写出一个求有限整数序列中的最大值的算法;S2对于i=2到n（对于第二个整数到第n个整数）

如果aimax;则max=ai;;误差的背景介绍;通过测量得到模型中参数的值

——观测误差;四舍五入后……;1.3.2绝对误差、相对误差和有效数字;但实际问题往往可以估计出不超过某个正数?.

定义2若已知?*0，使

（1.3）

则称?*为绝对误差限，简称为误差限。

就可以知道x范围为;2．相对误差和相对误差限;3．有效数字;;定义6：若将准确值x的近似值x*表示成标准形式;定理1.1：若x*具有n位有效数字，则其相对误差满足;误差的传播与积累;1.4.数值计算中应该注意的一些原则;递推公式;由递推公式（1.8）可看出，In-1的误差扩大了5倍后传给In，

因而初值I0的误差对以后各步计算结果的影响，随着n的增大

愈来愈严重。这就造成I4的计算结果严重失真。; I8?0.019I7?0.021

I6?0.024I8?0.028

I4?0.034I3?0.043

I2?0.058I1?0.088

I0?0.182;2．要避免两个相似数相减;类似地;4.避免大数吃小数;算法2：先解出;1.5中国古代数学中的算法案例;解：1.用一般算法，即直接求和法:;可以看出前K+1项部分和uk等于前K项部分和uk-1再加上

第K+1项，因此??;3.秦九韶方法:;递推公式为：;例11：用秦九韶方法求多项式;1.5算法的优劣;数值计算方法主要研究适合于在计算机上使用

的计算方法以及与此相关的理论，包括方法的收敛性、

稳定性及误差分析。还要根据计算机的特点研究时间

最短、需要计算机内存最少的计算方法。;数值计算方法的特色;1.6复习几个常用公式;揭示这一几何事实所包含的数量关系;定理1（Roll中值定理）;2．泰勒（Taylor）公式;非线性方程求根;设非线性方程;定义2.1设x*是方程（2.1）的根，则f(x*)=0。

若存在正整数m，使;1．根的存在性。方程有没有根？如果有根，有几个根？;;开始

;例1：考察方程;;执行步骤;4、当;定义f(x)

;例2：求方程;§2不动点迭代法及其收敛性;x1=0.4771

x2=0.3939

…

x6=0.3758

x7=0.3758;;定理2：如果?(x)满足下列条件

（1）当x?[a,b]时，?(x)?[a,b]

（2）当任意x?[a,b]，存在0L1，使

则方程x=?(x)在[a,b]上有唯一的根x*,且对任意初值

x0?[a,b]时，迭代序列xk+1=?(xk)(k=0,1,…)收敛于x*。;3．迭代法的结束条件;4．迭代过程的收敛速度;例5：二分法和不动点迭代法的误差和收敛速度;在不动点迭代法中;例6：构造方程;§3牛顿法;原理：将非线性方程线性化

——Taylor展开;二、牛顿法的收敛性;注：Newton法的收敛性依赖于x0的选取。;3．牛顿下山法;例5：求方程f(x)=x3–x–1=0的根;1、单点弦截法：;2、双点弦截法：;解线性方程组的直接法;1.线性方程组;对线性方程组的

研究可转化为对

这张表的研究.;二、矩阵的定义;简记为;例如;只有一列元素的矩阵;