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圆的压轴
一．解答题（共9小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）若的度数是40°，求∠AFC的度数；
（2）求证：AF平分∠CFE；
（3）若AB＝5，CD＝4，CF经过圆心，求CE的长．
2．如图，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D为上一点（不与点A，C重合），连接AD，BD，CD，且BC＝3CD＝18．
（1）如图1，若BD为⊙O直径．
①求tan∠BAC的值；
②求四边形ABCD的面积．
（2）如图2，在上取一点E，使，连接CE，交AB于点F，若∠BDC＝∠AFC，求AD的长度．
3．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦BC＝6，点D在BC的延长线上，线段AD
交⊙O于点E，过点E作EF∥BC分别交⊙O，AB于点F，G，连结BF．
（1）求证：△ABD∽△FGB．
（2）当△FGB为等腰三角形时，求CD的长．
（3）当∠D＝45°时，求EG：FG的值．
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6．点P是BC上一点（不包括端点），过P作PD⊥BC，交AC于D．作△PCD的外接圆，交AP于点E，连接CE，DE．
（1）①求证：△ADE∽△APC．
②当点P为边BC的中点时，求DE的长．
（2）若△ADE的三边满足其中一边是另一边的2倍，求直径CD的长．
（3）若＝，求PC的长．
5．如图1，在⊙O中，AB为弦，CD为直径，且AB⊥CD于点E，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点F．连接AC，BO．
（1）求证：∠CAE＝∠ADC．
（2）若DE＝2OE，求的值．
（3）如图2，若BO的延长线与AC的交点G恰好为AC的中点，若⊙O的半径为r．求图中阴影部分的面积（结果用含r的代数式表示）．
6．如图，AB为⊙O的弦，P是劣弧上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PE⊥AB，分别交AB、OA于点E、F，交⊙O于点G，连结AG，GD，DB，CF．
（1）求证：AG＝BD；
（2）当∠OAB＝∠AOC＝30°时，求∠GDB的大小；
（3）当CF∥OB时，①求证：DP平分∠GDB；
②若AG＝4，tan∠GPD＝，求⊙O的面积．
7．如图，⊙O的半径为1，直径AB，CD的夹角∠AOD＝60°，点P是上一点，连接PA，PC分别交CD，AB于点M，N．
（1）若PC⊥AB，求证：PA⊥CD．
（2）当点P在上运动时，
①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明．
②求证：PA+PC＝．
8．如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝m，点D在AC上，连结BD，作CE⊥AB，交△BDC的外接圆⊙O于点E，连结DE和BE．
（1）求证：∠BDE＝∠A．在思考的过程中，小浔同学得到了如下思维分析图：
请根据上述思维分析图，写出完整证明过程；
（2）如图2，若点D是AC中点．
①当m＝6时，求BE的长；
②是否存在m的值，使得CE恰好是⊙O的直径，若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
9．如图，⊙O的两条弦AB，CD互相垂直，垂足为E，直径CF交线段BE于点G，且．
（1）求证：．
（2）若⊙O的半径为4，AB＝6，求AG的长．
（3）设．
①若点E为AG中点，求x．
②若，求y与x的函数表达式．
圆的压轴
参考答案与试题解析
一．解答题（共9小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E是CA延长线上的一点，连接DE交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）若的度数是40°，求∠AFC的度数；
（2）求证：AF平分∠CFE；
（3）若AB＝5，CD＝4，CF经过圆心，求CE的长．
【分析】（1）如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．求出∠ADC即可解决问题．
（2）想办法证明∠ACD＝∠ADC，∠AFE＝∠ACD，∠AFC＝∠ADC即可解决问题．
（3）解直角三角形求出AC，再证明AC＝AE，即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，连接OD，AD，设AB交CD于H．
∵的度数是40°，
∴∠BOD＝40°，
∴∠DAB＝∠DOB＝20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝90°﹣∠DAB＝70°，
∴∠AFC＝∠ADH＝70°．
（2）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝
∴∠ACD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝∠ACD，
∵∠AFC＝∠ADC＝∠ACD，
∴∠AFC＝∠AFE，
即AF平分∠CFE．
（3）解：如图2中，设AB交CD于H．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴CH＝DH＝2，
∵OC＝，∠OHC＝90°，
∴OH＝＝＝，
∴AH＝OH+OA
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