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初中数学函数压轴题

一．解答题（共6小题）

1．在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数，．

（1）若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．

（2）若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，．

（3）设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．

2．在直角坐标系中，设函数，是常数，．

（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．

3．设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点．

（1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．

（2）若函数的表达式可以写成是常数）的形式，求的最小值．

（3）设一次函数是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点，时，求的值．

4．设二次函数，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：

0

1

2

3

1

1

（1）若，

①求二次函数的表达式；

②写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．

（2）若在，，这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．

5．设二次函数，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含，的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点，是实数），当时，求证：．

6．设二次函数，是常数，．

（1）判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若，点，在该二次函数图象上，求证：．

初中数学函数压轴题

参考答案与试题解析

一．解答题（共6小题）

1．在平面直角坐标系中，设二次函数，，是实数，．

（1）若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．

（2）若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点，．

（3）设函数和函数的最小值分别为和，若，求，的值．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．

（2）函数的图象经过点，其中，可得，推出，即，推出是方程的根，可得结论．

（3）由题意，，，根据，构建方程可得结论．

【解答】解：（1）由题意，得到，解得，

函数的图象经过，

，

解得或，

函数或．

（2）函数的图象经过点，其中，

，

，

即，

是方程的根，

即函数的图象经过点，．

（3）函数和函数有最小值分别为和，

，

，，

，

，

，

，

，

．

【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

2．在直角坐标系中，设函数，是常数，．

（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；

（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．

（3）已知，当，，是实数，时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证：．

【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；

（2）写出一组，，使得即可；

（3）已知，则．容易得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出．最后注意利用条件判断，得证．

【解答】解：（1）由题意，得，

解得，

所以，该函数表达式为．

并且该函数图象的顶点坐标为．

（2）例如，，此时，

，

函数的图象与轴有两个不同的交点．

（3）由题意，得，，

所以

，

由条件，知．所以，得证．

【点评】本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用判断二次函数图象与轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用，首先对代数式化简，然后配方说明的范围，另外注意．

3．设二次函数，是常数）的图象与轴交于，两点．

（1）若，两点的坐标分别为，，求函数的表达式及其图象的对称轴．

（2）若函数的表达式可以写成是常数）的形式，求的最小值．

（3）设一次函数是常数），若函数的表达式还可以写成的形式，当函数的图象经过点，时，求的值．

【分析】（1）根据、两点的坐标特征，可设函数的表达式为，其中，是抛物线与轴交点的横坐标；

（2）把函数，化成一般式，求出对应的、的值，再根据式子的特点求出其最小值；

（3）把，代入求出关于的函数表达式，再根据其图象过点，，把，代入其表达式，形成关于的一元二次方程，解方程即可．

【解答】解：（1）二次函数过点、，

，即．

抛物线的对称轴为直线．

（2）把化成一般式得，

．

，．

．

把的值看作是的二次函数