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第一讲集合与映射

集合含义与表示

集合

含义与表示

根本关系

根本运算

列举法

包含关系

相等关系

交集

并集

补集

描述法

图象法

一．集合的定义和表示

集合的相关定义

⑴集合的含义：一般地把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合〔或集〕．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素〔或成员〕．

⑵元素用小写字母表示；集合用大写字母表示．

⑶不含任何元素的集合叫做空集，记作．

注意：元素的三个特性：

确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可

互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个

无序性：集合中的元素是无次序关系的．

互异性举例：在集合中，实数应满足怎样的取值要求？

解：且

数学中一些常用的数集及其记法：

全体非负整数组成的集合称为非负整数集〔或自然数集〕，记作；

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作或；

全体整数组成的集合称为整数集，记作；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作；

全体实数组成的集合称为实数集，记作．

元素与集合间关系：属于；不属于．

举例说明：集合是以内的所有合数，那么有．

用“”或“”填空：

___；___；；

集合表示法

⑴列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{}”内的表示集合的方法．

例如：，

⑵描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|描述特点}

例如：大于的所有整数表示为：

方程的所有实数根表示为：{|}

解释：，表示集合中具有性质的所有元素．

例如，集合通常用来表示方程的解集．在实数集中取值，常常省略不写．

【例1】以下元素的全体不能够构成集合的是〔〕.

A.中国古代四大创造B.地球上的小河流

C.方程的实数解D.周长为10cm的三角形

【例2】，那么集合中元素x所应满足的条件为.

【例3】以下命题正确的有〔〕

⑴很小的实数可以构成集合；

⑵集合与集合是同一个集合；

⑶这些数组成的集合有个元素；

⑷集合是指第二和第四象限内的点集．

A．个B．个C．个D．个

【例4】用列举法和描述法表示以下集合

⑴方程的根；

⑵不大于且大于的所有整数；

⑶函数与的交点组成的集合．

【例5】集合，试用列举法表示集合A．

【例6】集合中有〔〕个元素．

B．C．D．无数

【例7】⑴两个集合，，这两个集合是相同的集合么？

⑵直角坐标平面除去两点、可用集合表示为〔〕

A．B．或

C．且

D．

【例8】设，为两个非空实数集合，定义集合，假设，，那么中元素的个数是〔〕

A．B．C．D．

二．集合间的根本关系

1．子集：对于两个集合，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，我们就说集合为集合的子集，记作〔或〕，读作“包含于”〔或“包含”〕．

规定：是任意集合的子集；任何集合是它本身的子集

2．真子集：如果集合，但存在元素，但，我们称集合是集合的真子集，记作〔或〕．是任意非空集合的真子集．

维恩图：我们常用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合．这个区域通常叫做维恩图．

3．相等：如果集合是集合的子集〔〕，且集合是集合的子集〔〕，此时，集合与集合中的元素是一样的，我们说集合与集合相等，记作=．

【例9】用适当的符号填空

⑴___

⑵___

___

___

【例10】以下说法中，正确的选项是〔〕

A．任何一个集合必有两个子集；

B．假设那么中至少有一个为

C．任何集合必有一个真子集；

D．假设为全集，且那么

【例11】求集合的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出的子集和真子集的个数．

【例12】假设全集且，那么集合的真子集共有 ．

A．个 B．个 C．个 D．个

【例13】求满足条件的集合的个数

【例14】求集合的所有子集的元素之和的和〔规定空集的元素和为零〕．

【例15】集合，其中，且，那么等于___．

【例16】，，，求的取值范围．

【例17】假设集合，，且．求实数的取值范围．

【例18】设集合，

．

求证：

三．集合的根本运算

相关概念：

⑴并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，

记作〔读作“并”〕，即或．

⑵交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，

记作〔读作“交”〕，即且．

⑶全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作．

补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作，即且．