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例3设A∈Fnxn,k为任意整数.求证：rankAk-rankAk+1≥rankAk+1-rankAk+2.证明:取V∈Fnx1,定义线性映射A:V→V,X→AX..则对任意正整数m,有Am(V)=ImAm是V的子空间.取V的子空间U=Ak(V)以及子空间W=Ak+1(V)定义线性映射A1:U→V,X→AX,A2:W→V,X→AX则ImA1=AAk(V)=Ak+1(V),ImA2=AAk+1(V)=Ak+2(V),从而 dimU=rankAk=rankAk, dimW=dimImA1=rankAk+1=rankAk+1, dimA2=rankAk+2=rankAk+2.我们有:KerA1={X∈U|AX=0},KerA2={X∈W|AX=0},由于因此dim(KerA1)≥dim(KerA2)将(1),(2)代入即得rankAk-rankAk+1≥rankAk+1-rankAk+2.dim(KerA1)=dimU-dim(ImA1)=rankAk-rankAk+1(1)dim(KerA2)=dimW-dim(ImA2)=rankAk+1-rankAk+2(2)定义设V是数域F上的有限维向量空间,维数为n.则V到自身的线性映射A:V→V称为V的线性变换.线性变换定义5.5.3设A,B是数域F上的两个n阶方阵.如果存在F上的n阶可逆方阵P使B=P-1AP,就称A,B在F上相似.定理设A,B∈Fnxn相似当且仅当它们是F上的同一n维空间V的同一线性变换在两组基下的矩阵.引理5.5.4方阵之间的相似关系满足下列性质:(1)自反性任意A,B∈Fnxn与自身相似;(2)对称性如果Fnxn中A与B相似,则B与A相似;(3)传递性设A,B,C∈Fnxn,且A与B相似,B与C相似,则A与C相似.证明:(1)(2)(3)例下面方阵是否相抵?是否相似?试说明理由.(1)(2)解:(1)显然rankA=rankB=1,因此相抵.假如A,B相似,存在可逆方阵P使B=P-1AP然而,则应有也就是A2与B2相似.非零方阵A2显然不能与零方阵B2相似.因此A与B也不能相似.(2)显然,rankA=rankB=5,A,B相抵.如果A,B相似,存在可逆方阵P使B=P-1AP,则也就是说(B-I)2与(A-I)2应当相似.然而rank(B-I)2=1与rank(A-I)2=2,(B-I)2与(A-I)2不相似.因此,A与B也不能相似.引理5.5.6设方阵A,B相似,B=P-1AP对F上可逆方阵P成立.f(x)∈F[x]是系数在F中的任一多项式,则f(B)=P-1f(A)P.证明思路:采用数学归纳法(1)(PAP-1)(PBP-1)=P(AB)P-1(2)(PAP-1)n=PAnP-1特征向量定义:如果可以在线性空间V中选一组基{?1,…,?n}使线性变换A在这组基下矩阵B是对角矩阵,就称A可对角化.如果方阵A相似于某个对角矩阵B就称A可对角化.定义5.5.1设A:V→V是的线性变换,如果非零向量?∈V被A映到它的某个倍向量,即A(?)=λ?对某个λ∈F成立,就称λ是的特征值,?是A的属于特征值λ的特征向量.设A∈Fnxn,则V=Fnx1上的线性变换A:X→AX的特征值λ和特征向量X称为A的特征值和特征向量.即如果λ∈F,0≠X∈Fnx1满足AX=X,就称λ是A的特征值,X是属于特征值λ的特征向量.定理5.5.1线性变换A:V→V可对角化的必要且充分条件是:存在A的一组特征向量β1,…,βn组成V的一组基.n阶复方阵A相似于对角矩阵当且仅当A有n个线性无关的特征向量X1,…,Xn。例1求如下矩阵A的特征值和特征向量.是否存在可逆方阵P使B=P-1AP为对角阵?如果存在,求出一个这样的P和B.解:设λ是任意一个特征值,X=(x1,x2,x3)T是A的属于特征值λ的任一个特征向量则,即组,经过移项,合并同类项化为标准形式:(*)可以看作以为未知数的线性方程这是以为未知数的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零:(*)(**)求(※)左边的行列式得:=0(※)因此,条件(※)即(※)可以看作以λ为未知数的三次方程,根为4,1.将λ=4代入(**)并解所得的方程组得到:取c1≠0就得到属于特征值4的特征向量(I)在(I)中取c1=1得到特征向量取c2,c3不全为零就得到属于特