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解考虑关于λ1,λ2,λ3,λ4的方程λ1α1+λ2α2+λ3α3+λ4α4=0(2.2.2)此方程即齐次线性方程组对(2.2.3)的系数矩阵作一系列初等行变换进行消元，化为对应的方程组为通解为(λ1,λ2,λ3,λ4)=(t1+t2,-3t1-4t2,t1,t2)(2.2.4)在通解(2.2.4)中取(t1,t2)=(1,0),得(λ1,λ2,λ3,λ4)=(1,-3,1,0),这说明α1-3α2+α3=0，α3=-α1+3α2(2.2.5)在通解(2.2.4)中取(t1,t2)=(0,1),得(λ1,λ2,λ3,λ4)=(1,-4,0,1),这说明α1-4α2+α4=0，α4=-α1+4α2(2.2.6)(2.2.5)和(2.2.6)说明α3,α4是α1,α2的线性组合.显然α1,α2线性无关，因此{α1,α2}就是{α1,α2,α3,α4}的一个极大线性无关组.□算法2.5.2求Fn中有限个向量α1,...,αm组成的向量组的极大线性无关组.(1)将各向量α1,...,αm写成列向量的形式，依次以它们为各列排成矩阵A.(2)将A经过一系列初等行变换化成如下的阶梯形其中1≤j1＜j2＜...＜jr≤n，而都不为0.于是B的第j1,j2,...,jr列组成B的列向量组的一个极大线性无关组，相应的，A的第j1,j2,...,jr列组成α1,α2,...,αm的一个极大线性无关组.例求向量α1=(1,2,0,-5,1),α2=(1,2,3,4,-3),α3=(2,4,-3,-19,6),α4=(1,1,1,1,1),α5=(3,6,-3,-24,7)组成的向量组S的一个极大线性无关组.解一系列初等变换B的第1,2,4列组成B的列向量组的极大线性无关组，因此{α1,α2,α4}是S的一个极大线性无关组.□引理2.4.3初等行变换不改变矩阵的列秩.初等行变换不改变矩阵的行秩.证明每次初等行变换前后的矩阵的行向量组等价.由等价的传递性知道：矩阵A经过若干次初等行变换得到的矩阵B的行向量组与A的行向量组等价.A与B的行秩相等.□定理2.2.9任意矩阵的行秩与列秩相等.证明设A∈Fm×n.则A可以经过一系列初等行变换变成阶梯形矩阵其中1≤j1＜j2＜...＜jr≤n，而且与在同一列的其余元都等于0，C的最好n-r行全为0，第i行的cij(jji)也都为0.由定理2.2.7，定理2.2.8知：C与A的列秩相等，C与A的行秩也相等，则A的行秩与列秩相等.C的第j1,j2,...,jr列组成C的列向量组的极大线性无关组，C的列秩是r.对1≤i≤m，记C的第i行为Ci.设λ1,...,λr∈F满足λ1C1+...+λrCr=0(2.2.16)由于λ1C1+...+λrCr的第j1,j2,...,jr分量分别为λ1,...,λr，(2.2.16)仅当λ1=...=λr=0时成立，说明C的r行C1,C2,...,Cr线性无关.而C得其余行都为0，显然是C1,C2,...,Cr的线性组合.因此C的前r行组成C的行向量组的极大线性无关组.C的行秩为r.C的列秩与行秩相等，都等于r.于是A的列秩与行秩也相等，都等于r.□定义矩阵A的行秩和列秩称为A的秩，记作rankA.□引理2.5.4设Fn的任意一个线性无关子集S都能扩充为Fn的一组基.证明Fn的线性无关子集S可以扩充为Fn的一个极大线性无关组M，M是Fn的基.例4试将F4的线性无关向量α1=(1,1,1,1),α2=(1,2,3,3)扩充成一组基.§2.6子空间机动目录上页下页返回结束