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例1(1)的二次型.例1中算法：定理：证明:(算法5.4.1)设S=(sij)nxn.对n用数学归纳法证明定理结论.定理5.4.1:由定理,存在n阶可逆实方阵P1,使得定义5.3.2-3引理:我们已经证明了：任何一个n阶实对称(Δ)(Δ)(Δ)推论5.2.1欧氏空间V中任何一组两两正交的单位向量S={α1,…,αk}都能扩充为V的一组标准正交基.证明:将S扩充为V的一组基M1={α1,…αk,…,αn},再利用Gram-Schmidt正交化方法,用βk+1,…,βn替换αk+1,…,αn得到一组标准正交基M={α1,…αk,βk+1,…,βn}.□例试求R4中线性无关的向量组α1=(1,0,1,0)T,α2=(0,-1,1,-1)T,α3=(1,1,1,1)T所生成的子空间的一组正交基,并扩充成为R4的一组标准正交基。解：待定系数求§5.3二次型机动目录上页下页返回结束第5章二次型的配方定义5.3.1n个变量二次齐次多项式称为n元二次型。如果自变量都在数域F中取值，函数表达式称为数域F上的二次型，它是F上数组空间中的系数也都在F中取值，则到中的一个映射例1求下面的实二次型的值域以及它们的最大值或最小值。（2）（1）(8.1.1)令(8.1.2)将(8.1.2)代入(8.1.1)，可以化为（1）由于矩阵可逆，由（8.1.2）定义的映射是到自身的1—1对应。所以的定义域和值域相同。又因的值域是从而的值域也是，即没有最大值，也没有最小值。（2）（5.1）取可逆线性变换（5.2）将（5.2）代入（5.2），则化为的值域是，因此的值域也是，当时取得最小值0，没有最大值。选择适当的可以矩阵P，将二次型化为简单的形式（5.3）即将定义在的任意二次型通过可逆线性代换化为（5.3）的形式（5.3）所给形式的二次型称为二次型的标准型。例2将下列二次型化为标准型：(1)(2)解（1）取可逆线性代换则再令则原来的二次型化为标准型(2)令即则令则定理任意数域F上的二次型都可以通过配平方法找到可逆线性代换化成标准型证明对n用数学归纳法当时已经是标准型。如果，则当时取可以再化为以下设并且设元二次型可以通过可逆线性代换化为平方和的形式。情况1其中是由中不含的项组成的的二次型。将看作自变量的二次函数，其他字母的多项式都看作的多项式的系数，配方得其中是的二次型。根据归纳假设，将自变量经过适当的可逆线性代换可以将化为标准型再令则可逆线性代换将原二次型化为平方和的形式情况二，但对某个成立。取自变量的可逆线性代换即则原二次型化为其中二次型不含项，中的系数化为已解决了的情况1。情况3对所有的此时不含，实际上是个自变量的二次型根据归纳假设，可以通过可逆线性代换化为平方和的形式。根据数学归纳法原理，定理对所有的正整数n成立。推论实数域R上的二次型可以通过可逆线性代换化为如下形式对称方阵的相合:1.二次型的矩阵例(a)(a)(b)(b)定义2.矩阵相合的定义定义5.2.4引理5.2.3引理5.2.4定理§5.4实对称方阵相合标准形机动目录上页下页返回结束第5章例3:机动目录上页下页返回结束第5章矩阵的相合与相似机动目录上页下页返回结束第5章§5.1欧氏空间§5.2正交化§5.3二次型§5.4实对称方阵相合标准形§5.5特征向量与相似矩阵第5章矩阵的相合与相似机动目录上页下页返回结束第5章§5.6正交相似§5.7更多例子§5.8若当标准型§5.1欧氏空间机动目录上页下页返回结束第5章最小二乘法例1在几何向量组成的3维向量空间v中，用几何方法定义了内积：求是否存在向量满足条件：解设有满足条件，它们在实数域R上的任意线性组合含于V，应满足条件即配方得选矛盾。因此不存在满足所说条件的例2（最小二乘法）已知某种材料在生产过程中的废品率y与某种化学成分的含量百分比x有