第5课时-函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用.docVIP

第5课时函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

ωx＋φ

φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x

－eq\f(φ,ω)

－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

3.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤

法一法二

4．判断以下结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(×)

(2)将y＝3sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位后所得图象的解析式是y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).(×)

(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的图象是由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq\f(π,2)个单位得到的．(√)

(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(√)

(5)作函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)这五个点．(×)

(6)函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,4)))的频率为eq\f(4,π)，初相为eq\f(π,4).(×)

(7)函数y＝－sinx向右平移eq\f(π,2)个单位，可得到y＝cosx的图象．(√)

(8)y＝sin(－2x)的递减区间是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)－kπ，－\f(π,4)－kπ))，k∈Z.(×)

(9)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(√)

(10)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq\f(T,2).(√)

考点一函数y＝Asin(ω＋φ)＋b图象画法

命题点

1.五点法作图

2.变换法作图

[例1](1)函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx(ω＞0)的最小正周期为π.

①求f(x)的解析式；

②用五点法作f(x)在一个周期内的图象；

③由y＝sinx经过怎样的变换可得到f(x)的图象？

解：①f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx

＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinωx＋\f(\r(3),2)cosωx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，

又∵T＝π，∴eq\f(2π,ω)＝π，即ω＝2.

∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).

∴函数f(x)＝sinωx＋eq\r(3)cosωx的振幅为2，初相为eq\f(π,3).

②令X＝2x＋eq\f(π,3)，那么y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝2sinX.

列表，并描点画出图象：

x

－eq\f(π,6)

eq\f(π,12)

eq\f(π,3)

eq\f(7π,12)

eq\f(5π,6)

X

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

y＝sinX

0

1

0

－1

0

y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))

0

2

0

－2

0

③法一：把y＝sinx的图象上所有的点向左平移eq\f(