2024年中考数学压轴题型（重庆专用）专题04 数论填空压轴题-重庆中考压轴题（教师版）.docxVIP

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专题04数论填空题--重庆中考压轴题

通用的解题思路：

通常考查的形式：整除类、平方差公式

通常用到的技巧及知识点：

一、整除类

1、表示出该数，并标注未知数范围

2、用位值原理展开并合并

3、分离：分离为整除部分与余式部分，余式部分系数越小越好

4、要运用未知数范围求解

二、平方差公式：

1、因式分解后本质是求该数的因数

2、a+b＞a-b

3、a+b与a-b，奇偶相同

1．（中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足﹣＝，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41﹣12＝29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53﹣32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为4312；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是8165．

【解答】解：由题意可得10a+3﹣31＝12，

解得a＝4，

∴这个数为4312，

由题意可得，10a+b﹣（10b+c）＝10c+d，

整理，可得10a﹣9b﹣11c＝d，

一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和为：

100a+10b+c+100b+10c+d

＝100a+10b+c+100b+10c+10a﹣9b﹣11c

＝110a+101b

＝99（a+b）+11a+2b，

又∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，

∴是整数，且a≠b≠c≠d，1≤a≤9，1≤b≤9，1≤c≤9，0≤d≤9，

a＝9时，原四位数可得最大值，此时b只能取0，不符合题意，舍去，

当a＝8时，b＝1，此时71﹣11c＝d，

c取9或8或7时，均不符合题意，

当c取6时，d＝5，

∴满足条件的数的最大值是8165，

故答案为：4312；8165．

2．（中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵7﹣1＝6，3﹣1＝2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8﹣1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为6200；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P（M）＝3（a+b）+c+d，Q（M）＝a﹣5，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为9313．

【解答】解：求最小的“天真数”，首先知道最小的自然数的0．

先看它的千位数字比个位数字多6，个位数为最小的自然数0时，千位数为6；百位数字比十位数字多2，十位数为最小的自然数0时．百位数是2；则最小的“天真数”为6200．

故答案为：6200．

一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d．

由“天真数”的定义得a＝d+6，所以6≤a≤9，b＝c+2，所以0≤c≤7，

又P（M）＝3（a+b）+c+d＝3（a+c+2）+c+a﹣6＝4a+4c；

Q（M）＝a﹣5.＝若能被10整除当a取最大值9时，

即当a＝9时，满足能被10整除，则c＝1，“天真数”M为9313．

故答案为：9313．

1．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为9871；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，．若F（M）、G（M）都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为4761．

【解答】解：为最大的“和平数”，而1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，

但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数，

∴最大的完全平方数为25，

∴最大的“和平数”，

当b＝8，c＝7时，d＝25﹣9﹣8﹣7＝1，

∴最大的“和平数”为9871；

∵s＝10a+b，t＝10c+d，

则，，

∵F（M）、G（M）都是整数，

设＝k1，＝k2，k1，k2为正整数，

则10（a+c）+b+d＝9k1，10（a﹣c）+b﹣d＝3k2，

两式相加得：20a+2b＝18a+2（a+b）＝9k1+3k2＝3（3k1﹣k2），

两式相减得：20c+2d＝18c+2（c+d）＝9k1﹣3k2＝3（3k1﹣k2），

∴a+b，c+d都能被3整除，

∴a+b+c+d能被3整除，4＜a+b+c+d＜36，

∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，

∴4＜a+b+c+d＜36，

∴a+b+c+d＝9或16或25，

而a+b+c+d能被3整除，

∴a+b+c+d＝9，

又∵a+b，c+d都能被3整除，

∴a+b＝6，c+d＝3时，M最大，