(1.36)--2.2.4 解的唯一性的证明.pdf

2.2解的存在唯

一性定理(四)

常微分方程

主要内容

➢解的唯一性的证明.

➢贝尔曼引理的内容.

常微分方程

4.唯一性的证明

贝尔曼引理设()是区间[,]上非负的连续函数，≤≤.

0

若存在≥0，≥0使得()满足不等式

≤+|׬0|,∈,(2.9)

则有≤−0,∈[,]

常微分方程

证明先证≥的情形

0

令=׬,由(2.9)式可得

0

′

−()≤

−(−)

两端同乘0,整理得

d

[R(x)e−k(x−x0)]e−k(x−x0)

dx

从到积分，则有kR(x)e−k(x−x0)−e−k(x−x0)

0

或+kR(x)ek(x−x0)

常微分方程

由(2.9)式可得y(x)ek|x−x0|,xx0

的情形类似可证.引理证毕.

0

下面证明积分方程(2.3)解的唯一性

设()是积分方程(2.3)定义在区间[−ℎ,+ℎ]上的一

0000

个连续解，则=,∈−ℎ,+ℎ.

0000

令g(x)(x)=−(x),

常微分方程

设()是定义在区间[−ℎ,+ℎ]上的非负连续函数.

0000

x

y+fd

(x)=0x(,())

0

x

y+fd

(x)0x(,())

0

x