(1.55)--3.5.1 矩阵A的特征根均是单根的情形（一）.pdf

3.5.1矩阵A的特征根

均是单根的情形（一）

主要内容

掌握矩阵A的特征根均为单根的情形时一阶常系数线性微分

方程组的解法.

常微分方程

一阶常系数线性方程组的求解问题都归结为一阶常系数

线性齐次方程组

dY

AY

(3.20)

dx

的基本解组的求解，其中A是nn实常数矩阵.

本节将介绍如何利用高等代数中的约当(Jordan)标准型

理论求解(3.20)的基本解组.

常微分方程

由高等代数知识可知，对于任一nn恒存在非

矩阵A，

奇异的nn矩阵T，使矩阵1成为约当标准型.

TAT

为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换：

YTZ(3.21)

其中.

T(t),(i,j1,2,,n),detT0

ij

将方程组(3.20)化为

dZ1

TATZ(3.22)

dx

常微分方程

1

我们知道，约当标准型TAT

的形式与矩阵A的特征方程

aaa

11121n



aaa

det(AE)det21222n0





aaa

n1n2nn

上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的

的根的情况有关.

特征方程式.它的根称为矩阵A的特征根.

下面分两种情况讨论

常微分方程

矩阵A的特征根均是单根的情形.

设特征根为