(1.38)--2.3.1 不可延展解的存在性.pdfVIP

2.3解的延展(一)

常微分方程

主要内容

➢延展解与不可延展解的含义，

➢不可延展解的存在性.

常微分方程

一、不可延展解的存在性

1.延展解与不可延展解的定义

考虑初值问题

dy

f(x,y)

dx(2.2)



y(x0)y0



常微分方程

定义2.1设=()是初值问题(2.1)在区间⊂上的一

11

个解，如果(2.2)还有一个在区间⊂上的解=(),且

22

满足

(1)⊂;

12

(2)当∈时，=().

112

则称=()，∈是可延展的，并称()是()在

1121

上的一个延展解。

2

否则，如果不存在满足上述条件的解()，则称=()

21

，∈是初值(2.2)的一个不可延展解(饱和解).

1

常微分方程

(x)

2

(x)

1

12

常微分方程

2.不可延展解的存在性

2

定义2.2设(,)定义在开区域⊆上，如果对于D上任

一点(,),都存在以,为中心，完全属于D的闭矩形R,

0000

使得在R上(,)关于y满足利普希茨条件，对于不同的点，

闭矩形R的大小以及常数N可以不同，则称(,)在D上关于

满足局部利普希茨条件.

常微分方程

如果(,)在D上连续且关于满足局部利普希茨条件，那么

初值问题(2.2)的局部存在的初值解，都可以唯一的延展成饱

和解.

常微分方程

证明思路：仅证方向，的情形同理可证.

00

由解的唯一性,在和的公共

01

部分上,=(),且⊂,