高中数学：高考解题展示课教学设计.docx

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高考解题展示课：数列求和——奇偶（讨论）型求和

株洲市第三中学尹智勇

一、背景介绍及选题理由

数列求和是高考的热点和重点问题，蕴含的方法有：公式法、分组求和、倒序相加、裂项相消、错位相减、并项求和等。其中有一种数列求和题需要对数列的项数是奇数或者偶数进行讨论的问题，我权且称之为奇偶（讨论）型求和问题。

奇偶型求和问题是近年高考的一个热点问题（2023年新课标卷II18T，2021年新课标卷I17T；2020年天津卷19T，2016年天津卷文科18T），考察的频率较高。奇偶型求和问题需要运用到分类讨论，转化与化归的数学思想，对学生的数学能力及核心素养要求比较高，尤其是对运算能力要求高，特别容易出错。而且我们手持的各种资料对这种数列求和问题都没有做过系统的专题讲座，所以我选择这个课题进行初步的探讨，希望能够取到抛砖引玉的作用。

学情分析

学生对数列求和的方法已经进行了系统的复习，已经学习过了：公式法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法、并项求和法等，对数列求和有了系统的认识，奇偶型求和就是在以上各种方法的基础上进行组合，再进行分类讨论。因此学生对这个内容已经有了一定的知识和方法储备。尤其是3班的学生是理科重点班，学生的数学能力和核心素养也相对好一些，有利于本节课的教学。

三、教学目标设置

1、认识奇偶型数列求和的特征，了解分类讨论的原因和分类的标准

2、掌握奇偶型求和的两类主要方法：分组求和法、并项求和法，了解还有更多求和的方案

3、掌握分组求和法的操作步骤，及注意事项。

四、教学重难点分析：

教学重点：掌握奇偶型数列求和的两种主要方法

教学难点：分组求和、并项求和的操作过程

易错点：数项数，定末项，奇数项转偶数项求和

教学方法选择：

讲授法、问题探究法

数学核心素养培养

数学运算、逻辑推理

七、教学过程设计及设计意图说明：

环节一、高考真题再现

（2023新课标全国Ⅱ卷，18题）

已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．

求的通项公式；

证明：当时，．

展示学生解题答案；点评两种方法，方法1基本量方法，方法2灵活应用等差数列的性质解题；方法2运算量小，更优。

答案【1】.

教师讲评分组法的原因、操作步骤及注意事项；由于此法是解决奇偶型求和的根本方法，故选择教师引导、分析、示范的教学方法。

（I）认识数列获得数列的感知，确定数列求和的方法——分组求和法，以及分类讨论的原因。

数列

第1项

第2项

第3项

第4项

第5项

第6项

...

第n-1项

第n项

an=2n+3

bn=

（II）教师示范分组求和法

方法1：由（1）知，，，

当为偶数时，，

当时，，因此，

当为奇数时，若，则

，显然满足上式，因此当为奇数时，，

当时，，因此，

所以当时，.

（III）展示学生研究的成果——并项求和法，并请学生讲评；老师点评。

方法2：由（1）知，，，

当为偶数时，，

，

当时，，因此，

当为奇数时，，

当时，，因此，

所以当时，.

（3）解题总结，师生共同完成：

（一）、通过写出前几项认识数列的特征，分析求和的方法，教师讲评，并且展示学生解题中的错误，提供多种解题思路与方案。

（二）、教师点评：

1、奇偶型数列求和的基本思想就是分类讨论；要分项数为奇数和偶数两种情况讨论，一般情况下，先讨论偶数项求和，再讨论奇数项求和；

2、运用到的方法主要有两种：方法一分组求和，方法二并项求和；

3、操作过程及注意事项：

（1）分组求和法：

（i）当n为偶数时分成两组：

（ii）当n为奇数时分成两组：

易错点：项数、末项的表达式

（2）并项求和：

（i）当n为偶数时，刚好两两配对：

（ii）当n为奇数时，两两配对剩下一项：

因此可得

4、关键点小结：奇数项求和转化成偶数项求和可以提高运算速度，请同学们思考，这种转化的方法能不能实用到方法一去？

环节二、问题探究

首先在PPT上展示三个问题，学生通过对例题1、2的解答回答这三个问题。

问题1、对于怎样的数列（数列有什么特征），我们需要分奇偶项讨论求和？

1、奇偶项是不同的数列；2、通项公式的特征。

问题2、是不是所有的奇偶型数列求和都可以运用分组求和与并项求和两种方法解题？

不是，具体问题具体分析，要首先认识好数列的特征。

问题3、如何减少运算量，提高运算速度？

先讨论偶数项的和，奇数项和转化到偶数项和研究。

然后：请两位同学现场展示例题1、2的解答，并且提供其它的解题方法供学生参考。

例题1、已知等差数列的前项和为，公差且成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．

答案

【1】【2】

例题2、已知数列