(5.1)--2.1.1 常系数常微分方程的求解.pdf

二阶线性常系数齐次ODE解的结构

二阶线性常系数齐次ODE的一般形式为

y(x)py(x)qy(x)0

定理1若y(x),y(x)都是上述方程的解，则对任意的常数

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C,C,Cy(x)Cy(x)仍是上述方程的解。

121122

若y(x)与y(x)线性无关，则

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y(x)Cy(x)Cy(x)

1122

是上述方程的通解.

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特征方程法求解：

y(x)py(x)qy(x)0.

写出特征方程：

k2pkq0.

解特征方程，得特征根k,k.

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特征根的情况常微分方程的通解表达式

kxkx

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yxcece

两个不等实根k1,k2()12

两个相等实根k=k≜ky(x)cekxcxekx

1212

一对共轭复根k1,2=iy(x)ex(c1cosxc2sinx)

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二阶线性常系数齐次ODE的求解举例

例1求解

y(x)3y(x)2y(x)0.

解写出特征方程

k23k20.

求特征根

k11,k22.

通解为

y(x)cexce2x.

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二阶线性常系数齐次ODE的求解举例