(5)--教学设计样例（含研究性学习指导）.pdf

一．教学内容分析

选自《数学物理方程》第二章：分离变量法/第一节：波动方程的分离变量

法。

本教学内容在课程的知识结构中的位置是：学习完第一章偏微分模型及基本

概念理论之后的第一次课，讲授第一类典型方程和第一类经典解法。

本课程的知识体系为：“1+3+4+N”，即一把“钥匙”——数学建模与计算、

三种典型方程（波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程）、四种经典方法（分离

变量法、行波法、积分变换法、格林函数法）、师生开发的N个案例。

本节重点：掌握分离变量法的六个基本步骤。分离变量法是将一个偏微分方

程分解为两个或多个只含一个变量的常微分方程。将方程中含有各个变量的项分

离开来，从而将原方程拆分成多个更简单的只含一个自变量的常微分方程。运用

线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程。

本节难点：理解有界域上波动方程定解问题解的结构分析。公式演算难度远

远高于《数学分析》等课程，步骤多，涉及到常微分方程特征值问题求解方法、

Fourier级数理论、解的综合分析、解的可视化表示、波动现象的物理解释等。

二．学情分析

本课程面向本校数学系和部分工科专业本科生开设，它涵盖的数学知识领域

比较多，包括《数学分析》、《常微分方程》、《积分方程》、《泛函分析》、《数学史》

等，许多学生感到这门课程内容多、难理解、感到害怕。

学生学习该课程时存在的问题：

1.学生理论知识学习与实践应用不够紧密。学生往往仅会对教材中已几个

模型进行求解，而来自实际中的问题，往往在边界上或者源项上有所变化，因此

我们要求学生不仅要掌握教材上的基本思想和方法，还要多从实际问题出发，掌

握建模与计算的方法。

2.学生理论分析功底不足，数值计算缺乏训练，部分学生为考试刷分和绩

点读书的观念很重。大多数学生能用六步法实现基本的模型求解，但理论功底不

够，对计算结果的有效性不会做理论分析，数值计算训练偏少。

3.学生基础参差不齐，个体差异比较明显。在教学中要关注不同层次的学

生的学习和发展。

另外，教学中存在着如下两个问题，要求教学设计、教材建设、课堂授课、

学习方法、资源建设要有新思路、新举措、新模式。

重基础训练，轻交叉融合。传统教学重视数学理论知识传授，往往与国家需

求不够紧密甚至脱节，难以满足国家需求，难以培养行业急需，难以打通“最后

一公里”。存在模糊认识，如应用性与基础性如何并存、学生创新能力与实践能

力如何培养？这些问题存在误区，在新时代应有解决问题的新思维和新方法。

重照本宣科，轻源流分析。传统的教学方法往往是满堂灌、照本宣科，而缺

乏理论方法的源头分析、发展过程、应用案例及前景的启发式讲授，导致学生的

学习价值观发生偏斜，影响了学习质量和正确价值观的养成。

三．教学目标

知识目标：

1．理解有界域上波动方程的定解问题解的结构。

2.掌握可分离变量微分方程的求解方法和基本步骤。

能力目标：

1.培养逻辑思维、推演能力、自主学习能力、独立思考能力。

2.能将分离变量法应用于实际工程问题的求解，培养建模与计算能力。

情感目标：

1.使学生了解分离变量法的应用前景，让学生爱上该课程，激发其学习积

极性。

2.通过公式的推导和数学运用，提升学生数学素养和学以致用的意识。

3.通过课后练习和团队协作，提升学生自主学习、团队协作、严谨作风、

爱国主义等思政素养。

四．教学思想及教学方法

本节课主要采用BIMM教学设计（即“融合背景、剖析思想、多维表达、多

层训练”）和4A教学策略(让课堂活起来，让学生忙起来，让思维嗨起来，让资

源丰富起来)，介绍波动方程的背景，剖析分离变量方法的基本思想、求解步骤，

并利用实例给出了波动方程的具体求解步骤。结合线上和线下的资源，让学生举

一反三，巩固练习，提升学习体会，掌握分离变量法，培养学生多角度思维方式、

独立思考能力、质疑批判习惯。

1.课前：

敦促学生看教材、视频、慕课、进行基础练习，使其能够带着问题去听课；

线上讨论与答疑，概念分析、难点互动、解题思路讨论。

2.课中：

板书演算与推理训练，利用桥梁模型讲解波动方程解的结构，详细剖析分离

变量法的基本思想和六个基本步骤，注重课堂的节奏和互动，让学生边学边做，

加强讨论

3.课后：

（i）线上再学习：难点学习，重点突破，讨论提升；