(5)--第1节1：差分解法一数学物理方程与特殊函数.pdf

求解数学物理方程常用的近似方法有差分法、变分法及

有限元素法等。本章我们简要介绍差分方法和变分方法，主

要目的在于说明如何将一个微分方程化成差分方程或者化成

一个变分问题，并指出求解所得差分方程或变分问题的一般

方法。

两种近似方法各有特点，差分方法不受方程类型的限制，

变分方法只适用于求解平衡（稳态）问题，但它可以得到解

的近似解析表达式。

这一节主要讲如何构造求解一个定解问题的差分格式及

多种差分格式的解法。

一、将微分方程化成差分方程

由微分学知道，函数的导数是函数的增量与自变量增量之

比的极限，即

+−−−

u(xx)u(x)u(x)u(xx)

u(x)limlim.

→→

x0xx0x



u(x+x)−u(x)

u(x)lim

x0

→x

1u(xx)u(x)u(x)u(xx)

+−−−

lim=−

x→0xxx

u(x+x)−2u(x)+u(x−x)

lim

2

x→0(x)

一、将微分方程化成差分方程



|x|u(x)

当很小时，可以近似的用差商

+−−−

u(xx)u(x)u(x)u(xx)

，

xx



u(x)

代替，可以近似地用二阶差商

u(x+x)−2u(x)+u(x−x)

(x)2

代替，从而一个微分方程可以近似地用一个差分方程来代替。

例如，二阶拉普拉斯方程

2u(x)2u(x)

+0

22

xy

一、将微分方程化成差分方程