高中数学：解三角形最值问题.docx

解三角形中的最值（范围）问题

【考纲要求】

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形试题问题；

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

【命题规律】

以选择题、填空题的形式考查，主要利用正弦定理与余弦定理实现边角互化、与数列、解析几何等综合，属基础题；以解答题的形式考查，主要的题型有两类：一是以实际生活为背景，常与试题工件、测量距离和高度及工程建筑等生产相结合，通过巧妙设计和整合，命制新颖别致的考题，该类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的能力，属中档题；二是与平面向量、三角恒等变换等知识交汇命题，考查三角形的有关知识.

教学过程：

高考真题展示：

1、（2022年全国一卷）

2、（2021年全国二卷）

3、（2020年全国二卷）

典例分析：

例题：(2020·全国Ⅱ卷)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．

(1)求A；

(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．①

由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA．②

由①②得cosA＝－eq\f(1,2)．因为0Aπ，所以A＝eq\f(2π,3)．

(2)由正弦定理及(1)得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝2eq\r(3)，从而AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sin(π－A－B)＝3cosB－eq\r(3)sinB．

故BC＋AC＋AB＝3＋eq\r(3)sinB＋3cosB

＝3＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3)))．

又0Beq\f(π,3)，所以当B＝eq\f(π,6)时，△ABC周长取得最大值3＋2eq\r(3)．

小结：解三角形中的最值或范围问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性，单调性再结合角的范围确定最值或范围．

变式一：在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq\f(cosA,a)＋eq\f(cosB,b)＝eq\f(2\r(3)sinC,3a)．

(1)求角B的大小；

(2)若b＝2eq\r(3)，求a＋c的取值范围．

解：(1)由已知条件，得bcosA＋acosB＝eq\f(2\r(3),3)bsinC．

由正弦定理，得sinBcosA＋cosBsinA＝eq\f(2\r(3),3)sinBsinC，

即sin(A＋B)＝eq\f(2\r(3),3)sinBsinC．

又在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC≠0，

所以sinB＝eq\f(\r(3),2)．因为B是锐角，所以B＝eq\f(π,3)．

(2)由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4，

则a＝4sinA，c＝4sinC．

所以a＋c＝4sinA＋4sinC＝4sinA＋4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))

＝6sinA＋2eq\r(3)cosA＝4eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))．

由0Aeq\f(π,2)，0eq\f(2π,3)－Aeq\f(π,2)，得eq\f(π,6)Aeq\f(π,2)，

所以eq\f(π,3)A＋eq\f(π,6)eq\f(2π,3)，所以eq\f(\r(3),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))≤1，

所以6a＋c≤4eq\r(3)．故a＋c的取值范围为(6,4eq\r(3)]．

小结：涉及求边的取值范围问题的一般思路：

(1)利用正弦定理把边转化为角，利用三角函数的性质求出范围或最值；

(2)利用正、余弦定理把角转化为边，利用不等式求出范围或最值．

变式二：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝eq\f(\r(3),4)(a2＋b2－c2)．

(1)求角C的大小；

(2)求sinA·sinB的最大值．

解：(1)由题意可知eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)×2abcosC．

所以tanC＝eq