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平面向量的概念

【教学重难点】

【教学目标】

【核心素养】

平面向量的相关概念

了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念

数学抽象

平面向量的几何表示

掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念

数学抽象

相等向量与共线向量

理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念

数学抽象、逻辑推理

【教学过程】

一、问题导入

预习教材P2-P4的内容,思考以下问题:

1.向量是如何定义的?向量与数量有什么区别?

2.怎样表示向量?向量的相关概念有哪些?

3.两个向量(向量的模)能否比较大小?

4.如何判断相等向量或共线向量?向量FILLINAB与向量FILLINBA是相等向量吗?

二、新知探究

1.向量的相关概念

例1:给出下列命题:

①若FILLINAB=FILLINDC,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;

②在?ABCD中,一定有FILLINAB=FILLINDC;

③若a=b,b=c,则a=c.

其中所有正确命题的序号为________.

解析:FILLINAB=FILLINDC,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故①不正确;在?ABCD中,|FILLINAB|=|FILLINDC|,FILLINAB与FILLINDC平行且方向相同,故FILLINAB=FILLINDC,故②正确;a=b,则|a|=|b|,且a与b的方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c的方向相同,则a与c长度相等且方向相同,故a=c,故③正确.

答案:②③

教师小结

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件

①有大小;②有方向.两个条件缺一不可.

(2)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;

②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.

2.向量的表示

例2:在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:

(1)FILLINOA,使|FILLINOA|=4,点A在点O北偏东45°方向上;

(2)FILLINAB,使|FILLINAB|=4,点B在点A正东方向上;

(3)FILLINBC,使|FILLINBC|=6,点C在点B北偏东30°方向上.

解:(1)由于点A在点O北偏东45°方向上,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|FILLINOA|=4,小方格的边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量FILLINOA,如图所示.

(2)由于点B在点A正东方向上,且|FILLINAB|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量FILLINAB,如图所示.

(3)由于点C在点B北偏东30°方向上,且|FILLINBC|=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C的位置可以确定,画出向量FILLINBC,如图所示.

教师小结:

用有向线段表示向量的步骤

3.共线向量与相等向量

例3:如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且FILLINOA=a,FILLINOB=b,在每两点所确定的向量中.

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?

(2)与a共线的向量有哪些?

解:(1)与a的长度相等、方向相反的向量有FILLINOD,FILLINBC,FILLINAO,FILLINFE.

(2)与a共线的向量有FILLINEF,FILLINBC,FILLINOD,FILLINFE,FILLINCB,FILLINDO,FILLINAO,FILLINDA,FILLINAD.

互动探究:

(1)变条件、变问法:本例中若FILLINOC=c,其他条件不变,试分别写出与a,b,c相等的向量.

解:与a相等的向量有FILLINEF,FILLINDO,FILLINCB;与b相等的向量有FILLINDC,FILLINEO,FILLINFA;与c相等的向量有FILLINFO,FILLINED,FILLINAB.

(2)变问法:本例条件不变,与FILLINAD共线的向量有哪些?

解:与FILLINAD共线的向量有FILLINEF,FILLINBC,FILLINOD,FILLINFE,FILLINCB,FILLINDO,FILLINAO,FILLINDA,FILLINOA.

教师小结

共线向量与相等

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