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平面向量的概念
【教学重难点】
【教学目标】
【核心素养】
平面向量的相关概念
了解平面向量的实际背景,理解平面向量的相关概念
数学抽象
平面向量的几何表示
掌握向量的表示方法,理解向量的模的概念
数学抽象
相等向量与共线向量
理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念
数学抽象、逻辑推理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材P2-P4的内容,思考以下问题:
1.向量是如何定义的?向量与数量有什么区别?
2.怎样表示向量?向量的相关概念有哪些?
3.两个向量(向量的模)能否比较大小?
4.如何判断相等向量或共线向量?向量FILLINAB与向量FILLINBA是相等向量吗?
二、新知探究
1.向量的相关概念
例1:给出下列命题:
①若FILLINAB=FILLINDC,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点;
②在?ABCD中,一定有FILLINAB=FILLINDC;
③若a=b,b=c,则a=c.
其中所有正确命题的序号为________.
解析:FILLINAB=FILLINDC,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故①不正确;在?ABCD中,|FILLINAB|=|FILLINDC|,FILLINAB与FILLINDC平行且方向相同,故FILLINAB=FILLINDC,故②正确;a=b,则|a|=|b|,且a与b的方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c的方向相同,则a与c长度相等且方向相同,故a=c,故③正确.
答案:②③
教师小结
(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小;②有方向.两个条件缺一不可.
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等;
②单位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
2.向量的表示
例2:在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1)FILLINOA,使|FILLINOA|=4,点A在点O北偏东45°方向上;
(2)FILLINAB,使|FILLINAB|=4,点B在点A正东方向上;
(3)FILLINBC,使|FILLINBC|=6,点C在点B北偏东30°方向上.
解:(1)由于点A在点O北偏东45°方向上,所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又|FILLINOA|=4,小方格的边长为1,所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点A的位置可以确定,画出向量FILLINOA,如图所示.
(2)由于点B在点A正东方向上,且|FILLINAB|=4,所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点B的位置可以确定,画出向量FILLINAB,如图所示.
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上,且|FILLINBC|=6,依据勾股定理可得,在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3,纵向小方格数为3≈5.2,于是点C的位置可以确定,画出向量FILLINBC,如图所示.
教师小结:
用有向线段表示向量的步骤
3.共线向量与相等向量
例3:如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且FILLINOA=a,FILLINOB=b,在每两点所确定的向量中.
(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些?
(2)与a共线的向量有哪些?
解:(1)与a的长度相等、方向相反的向量有FILLINOD,FILLINBC,FILLINAO,FILLINFE.
(2)与a共线的向量有FILLINEF,FILLINBC,FILLINOD,FILLINFE,FILLINCB,FILLINDO,FILLINAO,FILLINDA,FILLINAD.
互动探究:
(1)变条件、变问法:本例中若FILLINOC=c,其他条件不变,试分别写出与a,b,c相等的向量.
解:与a相等的向量有FILLINEF,FILLINDO,FILLINCB;与b相等的向量有FILLINDC,FILLINEO,FILLINFA;与c相等的向量有FILLINFO,FILLINED,FILLINAB.
(2)变问法:本例条件不变,与FILLINAD共线的向量有哪些?
解:与FILLINAD共线的向量有FILLINEF,FILLINBC,FILLINOD,FILLINFE,FILLINCB,FILLINDO,FILLINAO,FILLINDA,FILLINOA.
教师小结
共线向量与相等
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