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17.1勾股定理

勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

从而推导：，，.

注意（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

题型1：勾股定理的认识

1.下列说法中正确的是（）

A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2

B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2

D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2

【变式1-1】（2022秋?溧水区期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（）

A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．a2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2

【变式1-2】若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是cm．

【变式1-3】有下列判断：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2+b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，则有c2＝a2+b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则有b2+c2＝a2.其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

题型2：利用勾股定理求线段

2.（2022春?伊通县期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．

【变式2-1】（2021秋?耒阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长．

【变式2-2】（2022春?宁远县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．

题型3：勾股定理与面积

3.（2022秋?榆树市期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的值为（）

A．25 B．175 C．600 D．625

【变式3-1】（2022秋?渝中区校级期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（）

A．20 B．26 C．30 D．52

【变式3-2】（2022春?灵宝市校级月考）如图，以直角三角形的三边a，b，c为边，向外作正方形，等腰直角三角形，等边三角形和半圆，上述四种情况的面积关系满足S1+S2＝S3的图形有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1）中，所以.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中，所以.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

题型4：勾股定理的证明

4.下面图形能够验证勾股定理的有（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

【变式4-1】如图，已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．

【变式4-2】【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab，所以a2+b2＝c2．

【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股定理．

【定理应用】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c．

求证：a2c2+a2b2＝c4﹣b4．

【变式4-3】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明勾股定理，请完成证明过程．（提示：BD和AC都可以分割四边形ABCD）

题型5：勾股定理在网格中的应用

5.（2022春?河西区期末）如图，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（）

A．