八年级数学下册17.1勾股定理（解析版）.docxVIP

17.1勾股定理

勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

从而推导：，，.

注意（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

（3）理解勾股定理的一些变式：

题型1：勾股定理的认识

1.下列说法中正确的是（）

A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2

B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方

C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以BC2+AC2＝AB2

D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以BC2+AC2＝AB2

【分析】以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，得出A不正确；

由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得出B不正确；

由勾股定理得出C正确，D不正确；即可得出结论．

【解答】解：A不正确；

∵以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，

∴A不正确；

B不正确；

∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，

∴B不正确；

C正确；

∵∠C＝90°，

∴AB为斜边，

∴BC2+AC2＝AB2，

∴C正确；

D不正确；

∵∠B＝90°，

∴AC为斜边，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴D不正确；

故选：C

【变式1-1】（2022秋?溧水区期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a，b，c，则下列式子成立的是（）

A．a2+b2＝c2 B．a2+c2＝b2 C．a2﹣b2＝c2 D．b2+c2＝a2

【分析】根据勾股定理进行解答即可．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠A，∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，

∴a2+b2＝c2．

故选：A．

【点评】本题考查的是勾股定理，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

【变式1-2】若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是cm．

【分析】分长为4cm的边是直角边、长为4cm的边是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可．

【解答】解：当长为4cm的边是直角边时，斜边长＝＝5（cm），

当长为4cm的边是斜边时，另一条直角边＝＝（cm），

综上所述，第三条边长为5cm或cm，

故答案为：5或

【变式1-3】有下列判断：①已知a，b，c分别是直角三角形的三边长，则必有a2+b2＝c2；②直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方；③在Rt△ABC中，若∠B＝90°，边BC，CA，AB的长分别是a，b，c，则有c2＝a2+b2；④在Rt△ABC中，若∠A＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则有b2+c2＝a2.其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】在△ABC中如果没有特殊说明的时候∠A，∠B，∠C所对的边为分别是a，b，c；结合勾股定理对四个选项中给出的条件与结论一一分析便可得出答案．

【解答】解：①无法确定a、b、c哪条是斜边，故无法确定a2+b2＝c2，此说法错误；

②直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，此说法错误；

③由∠B＝90°，故b是斜边，则a2+c2＝b2，此说法错误；

④由∠A＝90°，可得a是斜边，故c2+b2＝a2，此说法正确．

其中正确的有1个，

故选：A．

【点评】本题侧重考查勾股定理，关键是要分清三角形中两条直角边和斜边．

题型2：利用勾股定理求线段

2.（2022春?伊通县期末）在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．

【分析】由勾股定理可得出答案．

【解答】解：∵BC：AB＝3：5，AB＝20cm，

∴BC＝12cm，

∵∠C＝90°，

∴AC＝＝＝16（cm），

答：边AC的长度为16cm．

【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【变式2-1】（2021秋?耒阳市期末）如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC边上的高AD＝12，求BC的长．

【分析】分别利用勾股定理得出BD，DC的长，进而得出答案．

【解答】解：∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠ADB＝90°，

在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝12，

∴CD＝＝＝9，

在Rt△ABD中，AB＝13，AD＝12，

∴BD＝＝＝5，

∴BC＝CD+BD＝9+5＝14．

【点评】此题主要考查了勾股定理，熟练应用勾股定理是解题的关键．

【变式2-2】（2022春?宁远县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．

【分析】首先利用勾股