第一讲：极限和导数(2).pptxVIP

第一讲：极限和导数（2）;第二部分：函数极限;分析：虽然x=0是没用定义的，但是当x趋于0时，会发现函数无限趋于1.所以极限存在。那么如何用ε-δ语言去描述呢？其实非常类似。因为x=0没用定义，所以可以在开区间（0,0+β]内去定义。数列极限是存在一个m,现在是存在一个β，不管ε多么的小，（只要你大于0），我都可以反解出来一个β（也是个大于0的数），只要x落到开区间（0,0+β]内，我的y一定落到[1-ε,1+ε]里面。也就是说，只要x足够接近于零，我的y就足够接近1.这就是函数极限的定义。;再看左边的表格：非常有趣的是，x越趋于零，y确实逼近1的，而且从图像上看，无论从左边逼近还是右边逼近，都是趋近于1的。;例题：;分析：

第二个其实就是求导。;我们用以下的方法描述函数在无穷远点的极限：--类似于数学里面的渐进线。

;例：;分析：;例：;分析：

可以看出来，最小的是sinx,最大的是tanx.但一般不是这样证明，而是用面积来证明。

如果x足够小，可以认为三个面积差不多，于是sinx/x趋近1.但这种证明不严谨，更加严谨证明如下。;严格证明：

都倒一下，然后同时乘以sinx.

虽然y在x=0处无定义，但是cosx

是有定义的，由夹逼定理。;例：;分析：不再用严谨的ε-δ语言去证明了，只是粗略的判断一下。

最后一个最难，要用三角函数

公式将分子变成sin的形式。;第三部分;导数

;

发现：一个函数在一个地方不一定可导，可能切线不存在，或者切线斜率不一样，如下图，从左和从右趋近得到两个斜率，分别叫左导和右导，但左右不相等，那就不可导，这实际上叫“光滑”才可导。;;其中：幂函数的导数适用于x取任何实数的情形。

从右图几何上也可以直观的去理解为什么sinx的导数是cosx.分别从图中找到各项的几何长度。dsinθ的长度时竖直高度差,dθ是那条斜边长，θ也出现在那个直角三角形里面，两者的比值就是cosθ.;

;证明：--用极限的定义操作一下。

注意：原函数和反函数是关于y=x是对称的，所以斜率也是对称的，斜率对称就是取导数，因为对称就是两角度互余。反函数的导数就是源函数导数的??数。;总结：五个最基础的函数的导数就讲完了。

在物理中，x往往是时间，但是，很多时候不仅仅是基本函数，而是它们的组合，所以要知道一些求导法则。;;分析：

1.函数相乘：

举例分析如下：

也可以直接展开求导：;2.函数相除：;3.函数套函数：;分析：

举例分析：

;举一些例子来用一下上述求导法则：

先把Lnxn当作整体求导，再这部分对x求导，刚才二项式展开要求x是正整数，现在就没有要求了，x只要是实数就行。;例：求下列函数的导数：;分析：;例9：;分析：

左边;从几何上分解线速度得到两个速度分量与右边求导得到的两个分速度大小方向都一致。向心加速度也是同样如此。;例10：;分析：链条下降x，称的读数不仅仅是这部分x的重力，还有一个冲击力。可以用小量分析做出来，但这里不打算这样做。

小结：标出链条所受整体的合外力，并且由动量定理求导得到合外力，链条上端是在做自由落体运动。;;;;