计数原理排列组合及二项式定理排列组合题型总结.docxVIP

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排列组合题型总结

排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。

一．直接法

特殊元素优先法

例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个

（1）数字1不排在个位和千位

（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择

特殊位置法

，其余2位有四个可供选择 ，由乘法原理： =240

（2）当1在千位时余下三位有 =60，1不在千位时，千位有 种选法，个位有 种，余下的有 ，

共有 =192所以总共有192+60=252

二．间接法 当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法 =252

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使

用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数

这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 -

三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

个，其中0在百位的有 个，

=432（个）

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？

分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有P1×P1=90中插入方法。

9 10

四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4．有4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？

分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有P4种排法，而男生之间又有P4种排法，又乘法

4 4

原理满足条件的排法有：P4×P4=576

4 4

练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（C2P3=36）

4 3

练习2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人

数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（C1

29

×P19）.

28

（注意连续参观2天，即需把30天中的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有C1

29

其余的就是19所学校选

28天进行排列）

五．隔板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采隔板用法

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例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。

分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块

闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有C7

11

=330种

练习1.(a+b+c+d)15有多少项？

解析1：当项中只有一个字母时，有C1种（即a.b.c.d而指数只有15故C1?C0。

4 4 14

当项中有2个字母时，有C2,而指数和为15，即将15分配给2个字母时，由隔板法一分为2，得C1

即C2?C1;

4 14 4 14

当项中有3个字母时，字母组合数为C3，指数15分三组给字母即可，从而得不同组合数为：

4

当项中4个字母都在时 四者都相加即可．

C1C0

C2C1

C3C2

C4C3

=816。

4 14

4 14

4 14

4 14

解析2：用15个相同的小球代表幂指数15,用4个标有x、x

1 2

、…、x

4

的4个不同的盒子表示数x、x

1 2

、…、

x ，将15个相同的小球放入4个不同的盒子中，把标有x（i=1,2,…,4）每个盒子得到的小球数k（i=1，2，…，

4 i i

4;k?N），记作x的k次方。这样，将15个相同的小球放入4个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开

i i i

式中的每一项。由隔板法知，这样的放法共有C3

18

种，故(x ?x

1 2

?????x

4

)15的展开式中共有C3项。

18

C3=

18

18?17?16

3?2

3?2