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第一章误差
试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.
解:例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式A?4?r2计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.
在计算过程中,要用到?,我们利用无穷乘积公式计算?的值:
其中
??q
??2?2?
q
1
? 2,
2?...
q
2
?1
??
??
n?1
? 2?q
n
,n?2,3,...
我们取前9项的乘积作为?的近似值,得
??3.141587725...
这个去掉?的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.
按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:
816.9567 6.000015 17.32250 1.235651 93.18213 0.01523623
解:816.96 6.0000 17.323 1.2357 93.182 0.015236
下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字?81.897 0.00813 6.32005 0.1800
解:五位 三位 六位 四位
若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字?
解:两位
若a?1.1062,b?0.947,是经过舍入后得到的近似值,问:a?b,a?b各有几位有效数字?
1 1
解:已知da?
?10?4,db?
2
2?10?3,
又a?b?0.20532?10,
1 11d?a?b??da?db?da?db?
1 1
1
?10?4? ?10?3?0.55?10?3? ?10?2,
所以a?b有三位有效数字;
因为a?b?010,
2 2 2
1d?a?b??bda?adb?0.947?1?10?4?1.1062?1?10?3?0.60045?10?3?
1
?10?2
所以a?b有三位有效数字.
2 2 2
设y
?0.9863,y
?0.0062,是经过舍入后作为x,x
的近似值.求
1,1
的计算值与真
1 2
值的相对误差限及y?y
1 2 y y
1 2
与真值的相对误差限.
1 2
1 1
解:已知x
?y?dx,x
?y ?dx
,dx
= ?10-4,dx
2
?2?10-4,
1 1 1 2 2 2 1 2
1
dx1x1dx1y1? ?dr?1?
dx
1
x
1
dx
1
y
1
? ?
?10?4
? ?2
?0.50?10?4;
??x 1 0.9863
?
?
1
? ?dr?1??dr?x?
? ?
?10?4
dx2x2dx2y2
dx
2
x
2
dx
2
y
2
1
?0.81?10?2;
??x 2 0.0062
?
?
2
dr?x
1
x??dr?x
2 1
??dr?x
2
??0.50?10?4?0.81?10?2?0.82?10?2.
正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的误差不超过1cm2.
解: 设正方形面积为 S,边长为 a,则 S=a2.所以要使:ds?da2?2ada?1,则要求
1 1
da?
? ?0.5?10?2.所以边长的误差不能超过0.5?10?2cm.
2a 200
用观测恒星的方法求得某地维度为450?2?(读到秒),试问:计算sin?将有多大误差?
解: d?sin???cos??d??cos?450?2???1??
? ?
? ?.
? ?
9.真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式s?
1
2gt2确定,g是重力加速度.现在假
设g是准确的,而对t的测量有?0.1s的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差
却减小.
?1 ds?证明:因为:ds?d gt2 ?
?1 ds?
gtdt?
gtdt
?2dt. ds与
ds
t成正比, 与
t成反比,
?2 ?
s s 1 t s
? ? gt2
2
所以当dt固定的时候,t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.
设x?0,x的相对误差为?,求lnx的绝对误差.
解:已知dx
??,所
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