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1、（全国卷Ⅰ）25．如右图，质量分别为m和M的两个星球A

和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

求两星球做圆周运动的周期：

在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

【答案】⑴T?2π

L3

G(M?m)

⑵1.01

【解析】⑴A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力

提供向心力，则A和B的向心力相等。且A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期。则有

mω2r?Mω2R r?R?L

解得R?

m Lm?M

r M Lm?M

?对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得

?

GMm?m(2π2 M L

L2 T)M?m

L3G(M?m)化

L3

G(M?m)

⑵ 将地月看成双星，由⑴得T1?2π

L3

G(M?m)

将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力

定律得

GMm?m(2π2

化简得

L2 T)L

3T?π L

3

2 2 GM

所以两种周期的平方比值为

T2 m?M 5.98?1024?7.35?1022

(2)

? ? ?1.01

T1 M 5.98?10

24

2、（重庆卷）24．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地。如题24图所示。

已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间

的绳长为3d,重力加速度为g。忽略手的运动

4

半径和空气阻力。

求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。

绳能承受的最大拉力多大？

改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有

竖直方向

1d=1gt2

4 2

水平方向 d=v1t

2gd解得 v1

2gd

由机械能守恒定律，有

1mv2＝1mv2+mg? 3 ?

2 2 2 1

?d? d?

? 4 ?

5gd2解得

5gd

2

设绳子承受的最大拉力为T，这也是球受到绳的最大拉力，

球做圆周运动的半径

R?3d

4

由向心力公式

? ? v2

?11

T mg m1

R

T mg

3

设绳长为l,绳断时球的速度大小为v３，绳承受的最大拉力

不变，有

? ? v2

T mg m3

l

8gl3解得

8gl

3

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l,水平位移为x，时间为t1，

有 d－l=

1gt2

x=v3t1

2 1

l(d?

l(d?l)

3

当 l＝d时，x有极大值 xmax＝23d

2 3