找规律求从1开始的n个连续奇数的和.docxVIP

伞陂中学 杨苗苗

如上图所示，你能从图中得出计算规律吗?

1+3+5+7+9+11+13=( )2

由此猜测:从1开始的n个连续奇数的和等于多少？

分析：①图中的点被折线隔开分成了7层，第一层有一个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有7个点，第五层有9个点……

②前两层共有几个点？4个。前三层呢？9个。前四层呢？16个。前五层呢？25个……

③我们知道，1=12，4=22，9=32，16=42，25=52……

④由③得出，第一层共有12个点，前两层共有22个点，前三层共有32个点，前四层共有42个点，前五层共有52个点……

⑤得出结论：前几层的点的总数，即为层数的平方。

解答：1+3+5+7+9+11+13=72

1+3+5+7+9+11+13+…+(2n-3)+(2n-1)=(n)2

推导过程：

1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

1+3+5+7+9+11=36=62

1+3+5+7+9+11+13=49=72

…

1+3+5+7+9+11+13+…+(2n-3)+(2n-1)=(n)2

说明：从1开始的n个连续奇数之和就等于这些奇数的个数的平方。现对以上结论进行论证：运用正方形知识论证

因为每一行、每一列的点数都相同，故可以将所有的点所围成的图形看成是正方形，要求所有的点数，只需求每一行点数的平方。或者用每一行的点数乘以列数，由于每一行与每一列点数相等，那么两者相乘仍得每一行点数的平方。如上图，每一行点数是7，每一列

点数也是7，那么总的点数就是7。同样的道理，当每行的点数是n个的时候，也就是每一层上的点是(2n-1)个的时候,那么总的点数

就应该是n·n=n2个。表示出来就是

1+3+5+7+9+11+13+…+(2n-3)+(2n-1)=(n)2

听老师说，等上了高中，还可用等差数列求和公式进行论证。所以，我决定更加努力学习，不断地丰富数学知识，学习更多的论证方法，探索数学的奥秘。

从1开始的n个连续奇数之和就等于这些奇数的个数的平方。

指导老师：马耀秀