八个无敌模型——全搞定空间几何地外接球和内切球问的题目.docxVIP

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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

文：付雨楼、段永建

文：付雨楼、段永建

今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

PcAa

P

c

A

a

b

C

B

P

c

C

b

A

a

B

P

c

C

b

A

a

B

P

O2

c

B

b

a

C

A

图1 图2 图3 图4

a2?b2?c2方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2?a2?b

a2?b2?c2

，求出R

例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）

3A．16? B．20? C．24? D．32?

3

若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为

，则其外接球的表面积是 9?

解：（1）V?a2h?16，a?2，4R2

?a2?a2?h2

?4?4?16?24，S?24?，选C；

（2）4R2

?3?3?3?9，S?4?R2

?9?

3在正三棱锥S?ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM?MN,若侧棱SA?2 ,则正三棱锥S?ABC外接球的表面积是 。36?

3

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：

SADSBHE(3)题-1MCN如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，?SH

S

A

D

S

B

H

E

(3)题-1

M

C

N

?AC?BC，AD?BD，?CD?AB，?AB?平面SCD，

C?AB?SC，同理：BC?SA，AC?SB，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，?AM?MN，SB//MN，

C

?AM?SB，?AC?SB，?SB?平面SAC，

?SB?SA，SB?SC，?SB?SA，BC?SA，

?SA?平面SBC，?SA?SC，

精彩文档 A

B

(3)题-2

故三棱锥S?ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，

?(2R)2?(2 3)2?(2 3)2?(2 3)2?36，即4R2?36，

?正三棱锥S?ABC外接球的表面积是36?

在四面体S?ABC中，SA?平面ABC，?BAC?120?,SA?AC?2,AB?1,则该四面体的外接球的表面积为（ D）A.11? B.7? C.10? D.40?

3 3

如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为

解析：（4）在?ABC中，BC2

?AC2?AB2?2AB?BC?cos120 ?7，

BC?

BC 2

77373，?ABC的外接球直径为2r? ? ? ，

7

7

3

7

3

sin?BAC

2

23?(2R)2?(2r)2?SA2?

2

3

)2?4? ，S?

7403

7

40

40?

3

，选D

（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b,c（a,b,c?R?），则

?ab?12

?

?bc?8 ，?abc?24，?a?3，b?4，c?2，(2R)2

??ac?6

?

?a2?b2?c2

?29，S?4?R2

?29?，

（6）(2R)2?a2?b2?c2?3，R2?

3，R?

3A4 2

3

A

4?R3

4

?R3?

4

??

3 3

?

3

3

3

8

2

V? ?，

C

B

类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

题设：如图5，PA?平面ABC

PO

P

O

C

A

O1B

D

第一步：将?ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；

第二步：O

1

为?ABC的外心，所以OO

1

?平面AB