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直角三角形 知识讲解（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．

能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的

逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.

能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用.

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为

a，b，斜边长为c，那么a2?b2?c2.要点诠释：

勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

理解勾股定理的一些变式：a2

?c2?b2，b2

?c2?a2，c2

??a?b?2?2ab.

勾股数：满足不定方程x2?y2?z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达

哥拉斯数），显然，以x、y、z为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：

①3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41……

②如果a、b、c是勾股数，当t为正整数时，以at、bt、ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

③n2?1，2n，n2?1（n?1,n是自然数）是直角三角形的三条边长；

④2n2?2n,2n?1,2n2?2n?1（n是自然数）是直角三角形的三条边长；

⑤m2?n2,m2?n2,2mn （m?n,m、n是自然数）是直角三角形的三条边长.要点二、勾股定理的证明

图（1）中，所以.方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图

图（1）中

，所以

.

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

，所以.

，所以

.

如果三角形的三条边长a，b，c，满足a2?b2

?c2，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：

勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形

首先确定最大边（如c）.

验证c2与a2?b2是否具有相等关系.若c2?a2?b2，则△ABC是∠C＝90°的

直角三角形；若c2?a2?b2，则△ABC不是直角三角形.

要点诠释：

当a2?b2

?c2时，此三角形为钝角三角形；当a2?b2

?c2时，此三角形为锐角三角

图（2）中，所以.形，其中c

图（2）中

，所以

.

如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

要点诠释：

原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.

要点六、直角三角形全等的判定（HL）

在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简

称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：

“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.

判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.

【典型例题】

类型一、勾股定理

1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．

（1）若a＝5，b＝12，求c；

（2）若c＝26，b＝24，求a．

【思路点拨】利用勾股定理a2?b2?c2来求未