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直线的参数方程及应用

问题1：（直线由点和方向确定） l

求经过点P(x,y

0 0 0

)，倾斜角为?的直线l的参数方程.

y

P(x,y)

设点P(x,y)是直线l上任意一点，（规定向上的

?方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平线，过 P

?

P作x轴的平线，两条直线相交于 Q点.

0

当PP与直线l同方向或P和P重合时， 0

0 Q

hx

h

0 0

PP＝|PP| 则PQ＝PPcos? QP＝PPsin?

0 0 0 0 0

当PP与直线l反方向时，PP、PQ、QP同时改变符号 l P

y0

y

PP＝－|PP| PQ＝PPcos?

0 0 0

QP＝PPsin? 仍成

0 0 0 0 0

设P0P＝t，t为参数， P(x,y)

又∵PQ＝x?x

0 0

， x?x

0

＝tcos? ? Q

??x

QP＝y?y

0

∴ y?y

0

=tsin 0

??x?x

?

?即 0

?

y?

tcos?

tsin?是所求的直线l的参数方程

y

0

∵PP＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点P(x,y

)到点

0

)P(x,y 的有向线段的数，且 |PP|＝|t|

)

0

0 0 0

① 当t0时，点P在点P

0

的上方；

② 当t＝0时，点P与点P

0

重合；

③ 当t0时，点P在点P

0

的下方；

?x?x ?t

特别地，直线 l的倾斜角?＝0时，直线l的参数方程为??0

?y y?y

?

0

④ 当t0时，点P在点P的右侧；

0

l P P(x,y)

⑤ 当t＝0时，点P与点P

0

重合； 0

⑥ 当t0时，点P在点P

0

的左侧； 0 x

问题2：直线l上的点与对应的参数t是是一 l

对应关系？ y

我们把直线l看作是实数轴， h

以直线l向上的方向为正方向，以定点P P0

0

为原点，以原坐标系的单位长为单位长， P x

这样参数t和这条实数轴上的点 P建

一一对应关系. 0

问题3：P1、P2为直线l上两点所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2＝？，∣P1P2∣=？

P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣

问题4：P为直线l上两点P、P的中点

问题4：

P为直线l上两点P、P的中点，P、P所对应的

0

1

2

1

2

参数分别为t、t，则t、t之间有何关系？

l

1

2

1

2

根据直线l参数方程t的几何意义，

y

P

2

PP＝t，PP＝t，∵P为直线l

1

1

2

2

0

上两点P、P的中点，∴|PP|＝|PP|

P

0

1

2

1

2

x

1

一般地，

PP＝－PP，即t＝－t, tt0

2

1

2

12

P

1

P、P、P是直线l上的点，

1

2

3

0

所对应的参数分别为t、t、t，P为P、P的中点

1

2

3

3

1

2

（∵PP＝－PP,根据直线l参数方程t的几何意义，

3 122

13 23

总结：

∴PP=t－t,PP=t－t,∴t－t=－(t－t,)）

13 3 1 23 3 2 3 1 3 2

1、直线参数方程的标准式

过点P(x,y

0 0 0

)，倾斜角为?的直线l的参数方程是

?x?x

? 0

tcos?

（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段PP的数， P(x,y)

?y?y

?

0

tsin??0

0 0PP=t ∣PP∣=t

0 0

P、P是直线上两点，所对应的参数分别为t、t，

1 2 1 2

则PP=t－t ∣PP∣=∣t－t∣

12 2 1 12 2 1

P、P、P是直线上的点，所对应的参数分别为t、t、t

1 2 3

t?t

1 2 3

则PP中点P

的参数为t＝1 2,∣PP∣=

t?

t?t

1 2

2

3 2 03

P为PP的中点，则t＋t＝0，t·t0

0 12 1 2 1 2

2、直线参数方程的一般式

过点P(x,y

0 0 0

)，斜为 k?

b的直线的参数方程是

a

?