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PAGE PAGE 10 / 31 旋转综合题 一．解答题（共 14 小题） 阅读与理解： 图 1 是边长分别为 a 和 b（a＞b）的两个等边三角形纸片 ABC 和 C′DE 叠放在一起（C 与 C′重合）的图形． 操作与证明： 操作：固定△ABC，将△C′DE 绕点 C 按顺时针方向旋转 30°，连接AD，BE，如图 2；在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论； 操作：若将图 1 中的△C′DE，绕点 C 按顺时针方向任意旋转一个角度 α， 连接 AD，BE，如图 3；在图 3 中，线段 BE 与 AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论； 猜想与发现： 根据上面的操作过程，请你猜想当α 为多少度时，线段AD 的长度最大是多少？ 当 α 为多少度时，线段 AD 的长度最小是多少？ 如图 1、2 是两个相似比为 1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图 3 放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合． 在图 3 中，绕点 D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与 AC、BC 交于点 E， F，如图 4．求证：AE2+BF2=EF2； 若在图 3 中，绕点 C 旋转小直角三角形，使它的斜边和 CD 延长线分别与AB 交于点 E、F，如图 5，此时结论 AE2+BF2=EF2 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 如图 6，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，满足△CEF 的周长等于正方形 ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD 交于 M、N，试问线段 BM、MN、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． 3．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60°角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将 Rt△AEF 绕 A 点按逆时针方向旋转角 α（0°＜α＜90°），如图（2），AE 与 BC 交于点 M，AC 与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P． 求证：AM=AN； 当旋转角 α=30°时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由． 如图 1，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E． 求证：AE=BC； 如图（2），过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转角 α （0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结 CE′，BF′，求证：CE′=BF′； 在（2）的旋转过程中是否存在 CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角 α； 若不存在，请说明理由． 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=，点 O 为 Rt△ABC 内一点，连接 A0 、 BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）： 以点 B 为旋转中心，将△AOB 绕点 B 顺时针方向旋转 60°，得到△A′O′B（得到 A、O 的对应点分别为点 A′、O′），并回答下列问题： ∠ABC= ，∠A′BC= ，OA+OB+OC= ． 在△ABC 中，BA=BC，∠BAC=α，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点， 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α 得到线段 PQ． 若 α=60°且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请补全图形，并写出∠CDB 的度数； 在图 2 中，点 P 不与点B，M 重合，线段 CQ 的延长线于射线 BM 交于点D，猜想∠CDB 的大小（用含 α 的代数式表示），并加以证明； 对于适当大小的 α，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出 α 的范围． 已知，在△ABC 中，AB=AC．过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋转角 θ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合）， △BMN 的边 MN 始终在直线a 上（点 M 在点N 的上方），且 BM=BN，连接 CN． 当∠BAC=∠MBN=90°时， ①如图 a，当 θ=45°时，∠ANC 的度数为 ； ②如图 b，当 θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由； 如图 c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明． 如图，四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形，长方形 AEFG 的宽 AE=，长 EF