第十届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)试题及参考解析 .pdfVIP

第十届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）真题 一、填空题（本题满分24 分，共4 小题，每小题6 分） （1）设(0,1) ，则lim (n 1) n 。 x  【答案】：0  1 1 【解析】：【思路一】因为1  1 ，所以  n  n  1   1  1 0 (n 1) n n 1  1 n 1 1  0(n 0) 所以由夹逼准则  n    n  n1 可得lim (n 1) n0 。 n (1x) 1 x     1 【思路二】lim (n 1) n lim lim  lim x 0 n x 0 x x 0 x x 0 x t cos t  （2 ）若曲线y y (x ) 由 确定，则此由线在t 0 对应点处的切线方程 ey ty sin t 1  为 . y x 1 【答案】： t 0 x 1 ey 1 y 0 (1,0) y y (x ) 【解析】：当 时， 且 ，即 ，即求点 处曲线 的切线方程。  x (t) 1sin t  在方程组两端对 t 求导，得 将t 0, y 0 代入方程，得 y   e y (t) y ty (t) cos t 0     dy y (0) x (0) 1, y (0) 1，所以   1 ，所以切线方程为y 0 (1)(x 1) ，即 dx x (0) x 0 y x 1。   2 （3 ）ln x  1x dx  。   3/2 1x 2