数学分析思维导图——第七章实数的完备性.pdfVIP

设闭区间列 具有如下性质： 定义1 （区间套） 则称 为闭区间套 或简称区间套 若 是一个区间套 则在实数系中存在 唯一 的一点 使得 即 用单调有界定理证明 定理7.1(区间套定理） 若 是区间套 所确定的点 推论 则对任给的 存在 使得当 时有 定义2 （聚点） 设 为数轴上的点集 为定点 它可以属于 也可以不属于 若 的任何邻域上都含有 中无穷多个点 则称 为点集 的一个聚点 定义2‘ （聚点） 对于点集 若点 的任何 邻域上都含有 中异于 的点 即 则称 为 的一个聚点 互相等价 若存在各项互异的收玫数列 则其极限 称为 的一个聚点 定义2‘’ （聚点） 实轴上的任一有界无限点集 至少有一个聚点 定理 7.2 （魏尔斯特拉斯 ( Weierstrass) 聚点定理） 证法1 ：构造闭区间套，用区间套定理证明 关于实数集完备性的基本定理 证法2 ：致密性定理是聚点定理的一种特殊情形 设 为数轴上的点集 为开区间的集合 即 的每一个元素都是形如 的开区间 若 中任何一点都含在 中至少一个开区间内 则称 为 的一个